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可数个序列紧的乘积在乘积拓扑下是序列紧该怎么证明呀? 第1页

  

user avatar   xia-yu-sen-40 网友的相关建议: 
      

只粗略的考虑了几秒钟,以下随意口胡。

我们假设有一个序列x^{n},其中每一项x = (x1, x_2,....)。我们把点x投影到X1里(第一个分量所在的空间),利用X1的列紧抽一个收敛子序列出来。我们下面只考虑这个子序列,原先那个序列扔了。对这个子序列,第一分量是收敛的(我们刚刚做了这件事)。我们现在考虑第二分量,把它投影到X2里。利用X_2的列紧,提一个收敛子列出来。好,现在我们有了一个子序列的子序列,前俩分量都收敛。重复以上步骤,最后考虑对角线元素,就是每个分量都收敛的子列了。

这是经典的Cantor Diagonal argument.参考Arzela-Ascoli定理的证明就好。




  

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