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如何证明对于任意的正整数n,若p整除n^2+n+1,则p模3一定不余2? 第1页

  

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这个题意思就是说, 没有 型因子。我们只需证明 没有 型因子(为什么?利用模3以及唯一分解,设法想清楚:有 型因子蕴含有 型素因子)。

倘若 有一个 型素因子 ,则 。首先这个 不能是 (分析 的奇偶性),故 是奇素数,故 与 在 中可逆。注意到 中的恒等式 ,于是 在 中有平方根 。由 是 型奇素数知 ,故 .我们考察Legrendre符号 ,希望证明它是 来推出矛盾。由欧拉定理可以将 写成 的形式( 是正整数),而 ,故原Legrendre符号化简成 的形式。由于 是 型奇素数,它要么是 型的,要么是 型的。对于前者, 利用二次互反律可算得 ,后者类似就不算了。因此Legrendre符号无论如何都是 ,矛盾。




  

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