多普通?
20x20以后,我都想不通。
中学课本里出现过的拓扑学的欧拉定理:任给一个不被孔贯穿(严格地说是同胚于球)的多面体,其顶点数V、棱数E、面数F满足等式 。
这个规律最早由笛卡尔发现,但最早的证明是欧拉完成的。
可能说不上是什么难题,不过下面这个证明过程确实非常巧妙,我最早读到这个证明是在一本书的附注里,记不得是教材还是科普书了,当时年纪很小,没细看,因为感觉叙述得很冗长。后来在George Gamow的科普神作《从一到无穷大》里仔细读过,叹为观止。
证明:假想一下满足上述条件的多面体 是中空的,并且其顶点可以随意移动,对应的棱长也可以随意伸长或收缩。第一步割掉(或者说是挖掉)P的一个面得到新的图形 。记 ,显然无论顶点怎么移动,棱如何收缩,只要不使不同的顶点或棱发生重合, 的值都是不变的。并且 。然后想象在不使顶点或棱发生重合的前提下移动 的顶点到同一个平面上,得到一个平面图形 。观察一下 ,它是由一些多边形拼接成的:如果把其中不被线段“切开”的多边形数作为 的面数,即 ;线段数作为棱数 ;线段交点数作为顶点数 。那么一定有 。
接下来,如果 中有不是三角形的区域,那就添加对角线连接这个区域的一些顶点,把这个区域“切割”成三角形拼成的,同时要注意新添加的对角线不要和其他线段相交,最终得到一个三角形构成的网络 ,如下图。由于新添对角线之间互不相交,那么每添加1条对角线,就会同时多一条棱和一个面,如果从 到 一共添加了k条对角线,那么 。
然后我们从边缘开始对 进行如下操作:
如果有一个顶点仅属于一个三角形,一定有两条边仅属于这个三角形,那就把这个顶点和这两条边直接擦除,得到新图形 ,一定有 。
如果一条线段(或者说一条边)仅属于一个三角形,那么把这条线段直接擦除,于是得到棱数和面数分别减少1的 ,有 。
重复进行上述操作,最终剩下的图形一定是一个三角形,并且有 。而显然 ,故 。
根据这个定理可以得到一个重要的推论:正多面体有且只有正四面体、立方体、正八面体、正(五角)十二面体、正(三角)二十面体五种。不妨尝试证明一下看看。