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有没有符合f'(x)=f(x+1)的函数? 第1页

  

user avatar   l-analyse 网友的相关建议: 
      

这类方程有一种统一的名字叫“时滞微分方程”(Delay Differential Equation, DDE),不属于ODE也不属于PDE.

这种方程要想确定解,需事先给出一段长为1的区间内的初始值,不妨设在[-1,0]内给出了初始解φ(x),则可以通过不断求解常微分方程f'(x)=φ(x+1)(其中x∈[-2,-1])的方式来对解进行逐段延拓。同样在另一个方向上,可以直接求解f(x)=φ'(x-1)(x∈[0,1]) ,然后不断递推进行延拓。(注意若方程真的存在R上的解,这里的φ就必定是无限光滑的,还需满足一系列正则条件,如φ(0)=φ'(-1),φ'(0)=φ''(-1)等)

这部分内容在维基百科上有详细介绍和参考文献,百度上一搜也能搜出来不少。

P.S. 如果改成“满足f'(z)=f(z+1)的解析函数”的话,似乎答案并没有那么的不唯一了。用幂级数可以试一试。


user avatar   Huxley-84-43 网友的相关建议: 
      

估算一个上界。思路是每一轮都寻求一条最短线段,将当前包含天使的多边形,按面积等分成两个新的子多边形。再假设天使的运气足够好,每次都瞬移到等分效率较低的子多边形。

直观看出,取平行于正三角形一条边的线段来等分其面积,等分效率最高。令此线段长度 ,三角形边长 ,则:

这样,初始正三角形被分成一个新的小正三角形和一个等腰梯形,易见等腰梯形的等分效率远高于新的小正三角形,于是根据假设,天使将瞬移到新的小正三角形当中。如此循环,至于无穷,天使将被锁定在初始正三角形的一个顶点。计算魔鬼走过的耗时路程:

记魔鬼速度 ,则捉住天使的时间:

这个题目如此离散,不借助于数值离散优化不易得到全局最优解,建议大家来改进这个上界吧。


按照 @yyx 说的圆弧线等分正三角形以及后续的扇形,上界可以改进为:




  

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