如何通俗易懂地解释外微分？ 第1页

谢邀。

“梯度”这个概念很多人大概能理解，但是梯度其实是比外微分更“上层”的一个概念。为什么这么说呢？因为只要有微分结构就有外微分，但是要定义梯度则需要有度量结构，或者说 内积结构 如果我们只考虑向量空间的话。在黎曼流形——如果你不知道什么是黎曼流形，那就想象一个内积空间或者直接假设 就行了，梯度 和全微分 df 互为对偶，也就是说 。从这个角度来说，你把全微分 df 看成梯度就行了。

当然这个只是函数的外微分，如果是对更高阶的微分形式的外微分呢？在 里面，还是按照我上面提到的对应——实际上就是各个分量的对应，1形式的外微分对应旋度，2形式的外微分对应散度，3形式的外微分＝0 因为3维空间里面没有4形式。所以在这种语言框架下，你就可以看到 里的狭义Stokes公式以及高斯散度定理都不过是广义Stokes定理的特例： 。

当然我这么说肯定会有人说不严格，但没办法，既然要通俗易懂那我只能牺牲严格性；要严格定义外微分，你得先定义微分形式，那还得先定义流形上的余切丛。。而且梯度和全微分在坐标分量上的简单分量对应仅仅是对 上的标准内积成立，如果不是标准内积还得乘系数矩阵。但这些对于想要一个通俗易懂的答案的人来说大概都不重要了，很多人脑子里向量空间自动等同于 带点积作为内积，你要跟他说向量空间也可以带其他正定二次型作为内积，也可以不带内积，他估计像看外星人一样看着你，不知道你想说什么。

当然再通俗易懂，也得学过多元微积分才能看懂外微分。没学过微积分或者学过但是忘了的人，你们说不懂我也没办法了。。再通俗也得有个基本的门槛吧。。