其实你要问的是 的每位小数都是0到9之间的数,相乘之后怎么全是0.
一个无理数数 a 可表示为
为整数, ( ) 是0到9之间的整数。
两个序列直接相乘,不考虑进位的情况下, ,
实际上是必须考虑进位的,设 每个 ( ) 是0到9之间的整数, 则有
其中 表示对 取整, 表示 除以 的余数。
一般情况下,一个无理数与自身相乘,不能保证所有小数相乘后全变为0,但是如果无理数是某个正整数的平方根,则恰好得到每个 均为0 。
详细论证比较复杂,先做个简单的验证,看看是何种情况,以 为例
( ,
先看不进位的结果:
进位的结果:
因为 没有计算,因此 是不准的,
结果是
位数计算越多,结果越接近2。小数是无穷个9,如果进1,则小数全为0。
为何如此?正整数开根号所得的小数恰好是上面乘法序列的逆运算,若某位数除法有余数,需进位到下一位之后参与下一步除法,而下一步本身的位数均为0 (因为是整数开根号),因此可以理解,正整数(非完全平方数)开根号所得的小数序列,如果与自身相乘,结果必定为零。
【补充资料】:为了更好理解一个正整数(非完全平方数)开根号所得的小数序列与自身相乘,结果小数均为零,这里用手工计算开根号看看小数序列是如何得到的。
在所有手工计算开根号的算法中,牛顿求根公式的算法是效率最高的,是收敛速度为二阶的算法,即每迭代一次,正确的小数位数加倍。
求 的根,牛顿迭代公式:
初始值 越靠近正确的根,收敛越快。
求实数 C 的平方根(),令 , 则 的根为:
迭代公式为:
以 为例 () 看看小数序列是如何形成的。因为
取初值
取两位小数即可,这两位小数是正确的,所以取 , 因为每次迭代正确位数加倍,因此取小数的位数也每次加倍:
迭代四次,已得到 位准确小数。
看出 小数序列形成的规律吗? 它是由一次除法与一次加法的结果取平均数。
除法是用2除以上次计算结果。假设 准确的根为 ,则 越接近 ,显然 也越接近 , 就更加逼近 ,事实上,可以证明
(这就是二阶收敛的含义)
若 (初始误差为小于 ),则
以上述数据为例: (初始值有一位小数正确)
所以 , 即迭代四次有16位小数正确。
自然地,
这说明什么?说明迭代四次,所得 与自身相乘,结果与2的误差能保证有15位小数是准确的。
换句话说,因为2是整数(小数位数均为0),因此 的前15位小数要么全是0,要么全是 9.
由此看出,整数平方根形成的小数序列与自身相乘结果,能确保小数位数最终全是0或9.
全是9的话,在无穷远处进1,则小数全为零。
这就解释了正整数(非完全平方数)的平方根所形成的小数序列,若自身相乘,则小数位数的数值均会变成零。其实从常理上判断,则是不证自明的结论。整数开根号,然后自身相乘,结果当然是整数本身,小数当然均为零!
根据题主的问题突发联想
一个无限不循环小数的n次方是否一定等于整数