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下列数字方块移动得到一定排列顺序的问题有解吗? 第1页

  

user avatar   huan-meng-zhe 网友的相关建议: 
      

谢邀。不能。

证明一系列的操作不能达到某个结果,一般的思路是这样(当然不排除别的思路,具体问题具体分析):

1、确定操作具体是什么。

2、寻找某个(些)量,这个量在操作前后是不变的,这个量又被称为不变量。

3、如果两个状态的不变量是不同的,那么肯定不能通过该操作来互换这两个状态。

当然,难就难在寻找不变量。

可以把黑框记为 ,从左到右,从上到下这样排列起来,本题就是 和 这两个状态的互换。

对于这类问题的不变量,学界早已研究清楚——不变量是逆序数的奇偶

在 的一个排列中,如果一对数的前后位置与大小顺序相反,即前面的数大于后面的数,那么它们就称为一个逆序。一个排列中逆序的总数就称为这个排列的逆序数

例如: ,逆序的数对有: , , , , ,所以逆序数是 ,逆序数是奇的。可以证明,在 的一个排列上,交换任意一对数对,逆序数奇偶性改变。具体证明过程可参阅有讲到逆序的线性代数书籍、抽象代数书籍。或者,自己动手证明一下也不是什么难事。

本题具体的操作是什么呢?注意在这里,并不能任意数对互换,只有 才代表黑框,每一次移动本质上都是 在移动。而且,移动到最后, 必须回到原来的位置。设移动的次数为 。再设 经过上、下、左、右四个方向移动的次数分别为: 、 、 、 (上下左右的英文首字母),那么必有: 。又因为最后 会回到原位,所以有多少次向上移动,就必定有多少次向下;有多少次向左移动,就必定有多少次向右,于是 , 。于是 是偶数。

每移动一次,就是交换一对数对,那么逆序数的奇偶就改变一次。共改变了 次,而且 是偶数,所以最后逆序数的奇偶不变。

这就证明了题目无解。

至于还有没有更简单的不变量,你不妨尝试寻找一下,不要局限于一种方法。




  

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