有这样一个基本公式:
,
或者
为了变成题主所说的形式,令
,
这需要我们用 、 反解出 、 :
我们假设 ,由上面两个关系式,解得:
,
,
我们根据 来选择恰当的表达式.
事实上, 关于 、 对称:
并且
将文中第一个公式中的 与 全部代换为 与 的表达式,于是就能得到反正弦的和角公式,但是它并不是 与 的某种组合的形式.
那么,题主所说的那种形式究竟存在吗?我目前还不确定,但是我觉得可能性很低,即使有,表达式可能会非常复杂.
我补充一下第一个公式的证明:
令 ,
则原等式右边为
而当满足时,上式即等于原等式左边.
关于反余弦、反正切也有类似公式,根据上面的推导过程,相信不难理解,补充如下:
我最后补充一下反正切的和角公式.
令 ,
反解出 、 ( ):