既然两个分数理论上来说可以无限接近，那么为什么还会出现无理数？ 第1页

这个问题的题目+问题描述并没有那么简单。

经过简单的分析，可以拆成三个问题。

为什么分数（或称有理数）可以无限接近？
为什么（在数轴上）会出现无理数？
为什么在数轴上任取一点，得到无理数的概率是100%？

第一个问题可以认为是有理数的性质，第二个问题则是无理数存在的必然性，第三个问题就涉及到概率论和测度论了。

一、为什么有理数之间距离可以任意小？

首先，题主所提到的“分数”也可以被称为“有理数”，这是对整数域 的一个扩充。

定义1.1 形如 （ ， ，且 ）的数称为有理数，并称全体有理数所构成的数域为有理数域，用符号 表示。

给出了有理数的定义后，我们可以证明，两个有理数之间是可以无限接近的。

为了使得语言更加严谨，我们参考极限的定义，将其写成如下形式的定理。

定理1.2 对任意 ，总存在 ， ，使得

证明 取 ， ，则 ， ，且

对任意 ，取 ，其中 表示不大于 的最大整数，则有

故定理1.2成立。

由以上过程可以知道，两个有理数之间的距离是可以任意小的，也即题主所说的“无限接近”。

而对于有理数而言，还有一个重要的定理，被称为有理数的稠密性。

定理1.3 对任意 ， ，满足 ，总存在有理数 ，使得

该定理的证明需要用到 的Archimedes性质，在此省略。

二、为什么会出现无理数？

我们知道，在数轴上遍布着数，其中包括有理数。

根据上面的过程，不但有理数之间的距离可以任意小，而且对于任意两个有理数，都可以在它们中间找到一个新的有理数。

看上去，数轴好像被有理数覆盖满了。

我们来看这样的情形。

在数轴上，通过原点作一个边长为 的正方形 ，其中点 落在数轴上， 和 与数轴垂直， 。

再以 为圆心， 的长度为半径作圆，交数轴于点 。

根据勾股定理知， 。

因此，设点 所对应的数轴上的数为 ，则其满足

我们记这个数为

根据刚刚直观的想象，数轴上的点应该都是有理数。

但我们通过这样的方法，构造出来的数轴上的点 ，却不是一个有理数。

定理2.1 不是有理数。

证明 假设 是有理数，则根据有理数的定义（也即定义1.1）知，存在 ， ，且 ，使得

根据 的定义过程知其满足 ，代入上式得

因此 是 的倍数，我们记 ，代入上式得

因此 也是 的倍数，进而知

矛盾，故定理2.1成立。

因此，数轴上除了有理数，还存在其他的数，我们称之为无理数。

定义2.2 数轴上不是有理数的点称为无理数，有理数和无理数统称为实数，并称全体实数所构成的数域为实数域，用符号 表示。

而要给出实数的定义，便涉及到了实数理论的内容。

Dedekind采用对数轴进行分割的方式进行定义，例如，记

则 是一个Dedekind分割，并且它的上确界 就是 。

通过给出Dedekind分割的定义，可以证明每个分割的上界对应着数轴上的每个点，也对应着实数域 中的一个实数。

三、为什么在数轴上任取一点，得到无理数的概率是100%？

从直观上想，如果无理数越多，那么取到无理数的概率就会越大。

或者说，无理数所占的“长度”越大，那么取到无理数的概率就会越大。

但是怎么定义所谓无理数的“长度”呢？这便涉及到了测度论的内容。

测度的概念其实早在小学数学中就出现了。

只是当时并没有给出其严谨的定义，而是采用非常直观的方式来解释它。

例如，对于给定的一条线段，我们使用刻度尺进行测量。

通过数该线段所占的尺子的最小分度值（也即每个小格子，在最简单的刻度尺中为 ）的数量，就能够粗糙地读出该线段的近似长度。

假设我们有一把足够精确的刻度尺，这把尺子的最小分度值足够小，可以读出这条线段的精确的长度。

以上便是测度的建立思路，事实上，概率也是一种特殊的测度。

为了给出有理数和无理数所构成的集合所占的数轴的“长度”的大小，我们在一维情况下，引入Lebesgue零测集的概念。

而在定义Lebesgue测度之前，我们还需要引入可数集的概念。

定义3.1 设 是 的子集，若存在从 到自然数集 的双射，则称 是可数集，否则称 是不可数集。

事实上，若存在从从 到自然数集 的双射，那么 中的所有元素也可以像数列一样排成一列。

根据这个定义，容易验证整数集 是可数集，这是因为 中的元素可以排成

同时，平面直角坐标系中的所有整点所构成的集合 也是可数集，这是因为 的元素可以按照下图所示方式排成一列。

进而知，有理数集 也是可数集，这是因为 中的所有数都可以写成两个整数的商，并且 是可数集。

接下来自然会思考，实数集 也是可数集吗？

定理3.2 实数集 是不可数集。

证明 只需要证明 是不可数集即可，假设 是可数集， 也即 中的实数可以排成一列

设 是第 个实数的十进制表示，考虑一个小数 满足当 时，有 ；当 时，有 。

因此， 的第一位小数与 的第一位小数不同，第二位小数与 的第二位小数不同，以此类推，可以得到 并不在上面的一列数中，矛盾。

故定理3.2成立。

在有了可数集的概念，并且说明了整数集 、有理数集 是可数集，实数集 是不可数集之后，我们可以开始建立Lebesgue测度了。

以下给出了Lebesgue零测集的定义。

定义3.3 设 是 的子集，若对任意 ，存在至多可数个开区间 ，使得

且

其中 表示区间 的长度，则称集合 是Lebesgue零测集。

对于定理叙述过程中的区间的长度，可以通过直观的计算得到。

设 ，则其长度 。

同时，对于数轴上的任意一个点 ，对任意 ，考虑用开区间

覆盖它，并且注意到

因此单个数所构成的集合 是Lebesgue零测集。

定理3.4 有理数集 是Lebesgue零测集。

证明 根据上面的过程知 是可数集，将其写成 其中 是第 个有理数，又每个集合 都是Lebesgue零测集，可以用开区间 覆盖它，且 因此 ， ， 可以覆盖 ，且

因此 是Lebesgue零测集，定理3.4成立。

仅仅考虑开区间 内的点的话，容易知道，里面的有理数所构成的集合也是Lebesgue零测集，但是整个开区间的长度却是 。

这就说明， 中的无理数的测度应该是 。

此时，任取 中的数，取到有理数的概率 ，取到无理数的概率 。

因此，在 区间上任取一点，取到无理数的概率是 。

同样地，扩展到整个数轴上，可以得知，在数轴上任取一点，取到无理数的概率也是 。

到此，题目中所提到的三个问题，都做了简单的解释。

需要深入了解的话，可以去学一学实数论、测度论等相关内容。

我觉得提问者还是需要直观一点的解释。我这边只负责提供一个直观的图景。

提问者说，两个有理数可以无限接近，或者说总能在两个有理数之间找到一个或者两个新的有理数。

那我告诉提问者，如果在两个有理数之间总能找到更多的无理数会不会更好地理解这个问题？

譬如说有两个有理数a，b，有a<b，则总能找到一个新的有理数c=a+(b-a)/2。很显然的a<c<b。

但是我们也能找到一个无理数d=a+(b-a)/√2，很显然的d也满足a<d<b……