当我们说一个定理可以推出另一个定理的时候, 我们在说什么? 第1页
1
lljpcz 网友的相关建议:
常见的形如“定理P推出定理Q”的表述可能有两种含义。
第一种情况是这样的，我们已经认识了命题P的正确性，并把命题P称为一个定理。我们尚未认识命题Q是否是正确的。现在，利用了定理 P，我们推出了命题Q(请注意，此处仅仅是利用，并非是在证明Q是，P是必要的)。
换句话说，我们实际上证明了┣P和┣(P→Q)(┣X表示公理系统能推出命题X，手机只能打出来┣这个符号，凑合着看吧)。于是就有┣Q。
第二种情况下，我们可以去掉一些条件，证明推出。
例子已经有答主提过了，A.C.→Zorn's Lemma，就是在ZF里面推的。换句话说，ZF┣(A.C.→Zorn's Lemma) ZFC┣(A.C.)
然后ZF的公理都是ZFC的公理，所以就有ZFC┣(Zorn's Lemma)
从某种意义来说，第一个情况可以算是第二个情况的特例。
不管是哪个情况，重点在于，我们说命题P推出命题Q的时候，我们关心的不是他们重言等价这个事实，我们关心的是，我们是如何认识到Q是一个重言命题的。这个认识的过程借助了P是重言命题和P→Q是重言命题两个事实。
1
相关话题
如何看待哲学家尼采？野兽先辈的各种数字论证是如何做出的？
如何反驳【唯心主义是错误的】?
如何看待 2020 全国二卷文科高考数学第 3 题以钢琴键为背景？
你们有人看过完整的《道德经》吗？
如何评价 2021 阿里巴巴数学竞赛决赛试题？
康德的先验哲学怎样克服了休谟的怀疑论？
一个函数的不定积分存在有哪些必要条件或者充分条件？
我发现有个积分很接近e^π+π^e，有大佬能解释下原因吗？
关于传染病的数学模型有哪些？
前一个讨论
陶哲轩为什么用一个新公理代替了旧的幂集公理？
相关的话题
同济版《高等数学》有什么缺陷？“Quine最终提出没有纯粹的分析命题。”但是在逻辑中像矛盾律不就是纯粹的分析命题吗？
欧氏空间到自身的局部同胚、连续、满映射，是否一定是单射？
为什么手机计算器上50%+50%=0.75?
人，有必要消极的活着吗？
时间为什么用 12 进制？
为什么规定 0 的阶乘为 1？
之前的数学家与科学家们潜心研究类似虚数、量子力学等「之前没有任何实用价值」的东西意义何在？
“太阳从西边或东边出来”是必然事件，随机事件还是不可能事件？
「小女子无以为报，唯有以身相许」的逻辑是什么？真的存在这种案例吗？
为什么数学定义一般采用如下形式：X has property P, if（条件），而不是 iff？
如何看待丁石孙先生在学术和教育上成就?
如何科学地理解“仓禀实而知礼节，衣食足而知荣辱”?
你觉得哪一个才是明朝灭亡的根本原因？
喜欢曹操跟年纪有关系吗？
如何证明一个无理数的整数倍数的小数部分在（0，1）上均匀分布？
怎样理解“单点紧化”？
如果全世界女人联合起来，都不结婚，男人如何避免灭亡？
数论问题困难性的根源是什么？
为什么王阳明的知名度在大陆很低？
有理数的开方，是否能取遍实数？ 换句话说，是否存在无理数，不是某有理数的开方？
有没有哪些数学题的某一步处理堪称神来之笔？
向量奔驰定理有哪些证明?
为什么王阳明的知名度在大陆很低？
一个人一定会相信自己所看到的吗？
20.22.25.30.37.（）后边的这个数到底是多少？
为什么邓晓芒说中国古代的思想家不追求真理？
如何从哲学伦理角度看待爱国行为？
康德的二律背反是什么意思？他怎样论证上帝存在性问题的？
哪些数学命题曾经长期被误认为是正确的，但之后被严格证明是错的？