为什么人类可以长期使用不同数位进制，而丝毫不显得凌乱，还切换自如 ？ 第1页

题中列举的所有非10“进制”都不是真正意义上的进位制，而只能称得上“等分”，也就是说，是“分”而不是“进”。人类文明真正发展出的成熟进位制只有十进制和二进制两种。

要发展成一门成熟的数位进制，必须起码满足两点：第一，必须能向上和向下无限地扩展；第二，必须为进位制内的每一个数赋予专属的符号。

所以，严格地说，我们不能说1日=24时是“24进制”，也不能说1时=60分，1分=60秒是“60进制”，因为，首先24和60这两个条件仅在“日与时”，“时、分、秒”这样的特定关系中存在。我们并没有为“24日”或“60时”定义下一位的符号，这就不存在“进位”；其次，我们所表述出的“24”“60”，实际上仍然是借用着十进制数字，但真正要成为“24进制”，就需要用到24个不同的符号（比如字母A到X）。

而在这个前提下，我们只能说，1日被“等分”成了24份，每一份的名字叫“时”。1时第一次分割为60份，每一份名字是“minute”；再一步分割为60份，每份名字是“second”——这里“second”意思就是字面意义上的“第二”，也就是“第二次分割”。这里的数量关系都是“分”，而不是“进”。

从另一个角度来说，人类古代文明虽然看上去不约而同地选用了“十进制”，但其中很少是真正意义上完整的十进制系统，而只能说是“与数字十有关的计数方式”。比如罗马数字就不能说是什么“进制”，因为它的进位点设置在5、10、50、100、500、1000，进位规则并不是按照一个数字的倍数来扩展的。许多欧洲语言，尤其是被广为吐槽的法语，至今的进位节点都还十分混乱。

世界古代文明里，几乎只有中国文明从上古以来就发展出了成型的十进制系统（口语和书面记号两方面都相当完善）——其中包括：1. 每数完一次“十”，下一个数在“十”的右边添加“一”；2. 数完第二次“十”的循环时，在“十”的左边添加“二”，表示将“十”视为单位，新的数是“二个十”“三个十”…… 3. 数到“十十”后，引进一个新的单位“百”，接下来，每十个百引进“千”，每十个千引进“万”，逢十倍进一位（注意原生计数里“亿”是十万）。这套系统与今天的阿拉伯数字唯一的差距，就是尚未引进占位符“0”，使得每次数十倍时都要引进一个新的符号。而世界上很多语言，尤其是口语中，直到今日都没有能发展出这套系统，很多语言，比如我们熟悉的英语，对于11~19，20~90中的整十数，还存在着不同的表述规则（而不是简单地“十加几”和“几十”）；还有些语言，比如朝鲜语，20~90中的每个整十数甚至有专门的说法。

当然，这题的确提出了一个值得讨论的问题——古代人对于“累积”和“分割”的基数存在着明显的分歧。古人为累积的量计数时，都会自然地对应上双手十指，这使得全世界各民族、各语言的数字系统基本都以十个为一组（即便法语也只是数字的说法不同，但基本的数字词根依然是十个）。然而，古人做分割时却很少使用十等分，比如古罗马的数字系统中，传统的累积计数是十进制，但分数系统却是明确的十二进制，每一级基础分数是被称为“uncia”的1/12。全世界的古代度量衡系统里，基本只有中国的古代度量衡产生了明确的十等分思想，但即便如此，重量单位“斤”与“两”之间依然使用了16等分。

这其实也不难理解，比如，给你一段绳子，如何对它做二等分？这是傻子都会的。如何做三等分？这其实也很简单：把绳子一端向内翻折到任意位置，再以这个位置为折角，翻折绳子的另一端，然后调整两个折角，使绳子另一端正好对准第一次翻折的折角，这就做出了精准的三等分。然而，到五等分就没那么好做了。你会发现，五等分会产生三个折角，仅靠视觉判断，几乎无法让三个折角都同步协调，这也就很难操作出精准的五等分。同样，依次往上的质数等分，由于折角越来越多，操作的难度只会越来越高。

所以，对古人来说，由于10有5这样一个不易操作的质因子，做十等分的难度自然远高于含因子2、3，以及2和3的倍数（8、12、16、24等）的等分。只要古人能造出规则形状的物体，使用含2或3因子的等分是十分自然的想法。对于很多在古代条件下实施的测量，将计量单位设置成含2或3因子的等分也是最合理的做法。比如，如果1斤=16两，当天平上一个物体比8两砝码重时，再放上一个4两砝码，如果还重，就再放上2两——这样类推很快就能得到物体的精确重量（实际上你在物理课上所用的天平也就是这么操作的）。但如果1斤=10两，古人就得做大量的1两砝码，然后一点点地试重量，且不说怎样把一个坚硬物体精确地十等分，就说天平上做这样操作的效率也是极低的。P.S. 后来的中国古人想到的十等分测重量的解决方案是利用杠杆将重量转化为长度测量，也就是今天在中药房里使用的“戥秤”。

又比如古代的计时，为何东西方古人都用12这个因子来分割一天？对于古人使用的日晷来说，这实质上就是分割角。你同样可以剪一个纸片来试一下：对于任意一个角，二等分和三等分都可以通过简单的翻折实现，这也是古人就可以发现的。但五等分就不那么好操作了，除了少数特殊角，一般的角是无法做出精准的五等分的。所以，无论是分割一整个圆周，还是分割一天当中日影转过的角度，分12份都是既有足够区分度又适合操作的最佳选择。

所以，正由于古人在“累积”和“分割”的实际操作上的分歧，人类古代文明也就产生了看似数目众多的“进位制”，但它们距离真正意义上成熟的进制都还有很大差距。从另一个角度来看，古代人类做分割的时候必然会接触到“质数”和“质因数”的概念，但除了古代希腊人，很少有古人能把从分割中接触到的这个概念推广到以累积为基础的整数体系中，也自然无法产生真正意义上的数论。而这两者的统一，也耗费了人类几千年的时间，这之中的历史节点，就起码包括：①提出数字1~9的符号；②提出符号0；③将符号0用作数位中的占位符，即将十表示为“10”；④提出十进制小数和个位分隔符（小数点）；⑤提出只遵循十进制的度量衡；⑥提出基于十进制的国际单位制词头系统。然而即便如此，现代人依然保留着前十进制时代的观念——时间。对现代人来说，“成绩是2小时10分23秒、2.16小时、131分56秒的三名马拉松选手谁更快？”，这样的问题显然不是“切换自如”的。

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