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这个数学分析的问题该如何求解? 第1页

  

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引理1

若正整数 使 ,则对于任何小于 的正整数 ,都有 且

证明:反证法。假设 。固定 。首先易知 且 。作函数 与 。我们断言,当 充分大时, 。(这是因为, , ,只需看 前的系数就可以得到这个结论)。再结合 递增的事实,我们有:

现在取一充分大的 ,则存在 ,使得 。由绿框, ,矛盾。

引理2

若正整数 使 ,则对于任何大于 的正整数 ,都有

证明类似引理1,不写了。

下面开始证明题主的原问题。

注意到 ,且 ,即有无穷多个正整数满足 。

  • 当 时,存在 使得 且 。根据引理1和引理2, 且 且 ,因此 ,即
  • 当 时,取一充分大的正奇数 可使 ,故 ,故




  

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