引理1
若正整数 使 ,则对于任何小于 的正整数 ,都有 且
证明:反证法。假设 。固定 。首先易知 且 。作函数 与 。我们断言,当 充分大时, 。(这是因为, , ,只需看 前的系数就可以得到这个结论)。再结合 递增的事实,我们有:
现在取一充分大的 ,则存在 ,使得 。由绿框, ,矛盾。
引理2
若正整数 使 ,则对于任何大于 的正整数 ,都有 且
证明类似引理1,不写了。
下面开始证明题主的原问题。
注意到 ,且 ,即有无穷多个正整数满足 。