如何证明Painlevé连续开拓原理？ 第1页

这种形式的Painlevé连续开拓原理小喵觉得证明还是挺难的。主要曲线只假设了可求长，这一点使得证明变得很复杂。

如果假设曲线都是smooth embedded（ ，那么证明会相对容易。首先为了证明 f 全纯只要证明 f 在任意的三角形回路上面积分都是0. 将大三角形划分成小三角形，我们进一步只要证明 f 在任意小的三角形回路上面积分都是0。 若小三角形 和 不交，那回路积分显然是0. 若相交，则由于 ，在小三角形上面可以假设 ，也就是说你可以差不多认为在这个小三角形上面 是线性函数，于是如下图所示， 被分成了两部分。

由于 f 在黄色和红色区域分别全纯，所以它在这两个区域边界上积分是0. 把这两个积分加一起可得在三角形边界上积分也是0. 所以我们证明了 f 在任意小的三角形回路上面积分都是0，也就完成了定理的证明。

对于可求长曲线，上述的论证方法小喵感觉应该不work。不管三角形取的多么小，也不可以认为曲线差不多线性，曲线可以将小三角划成很多部分，很难上面这种用简单方法来证明。

换一种思路证明会容易一些。考虑光滑函数 ， . 定义 . 考虑 f 和 的卷积 .

我们证明 是全纯函数。 考虑 , 那么

这里 x-D 是D 沿 x 方向平移得到的区域，第三个恒等式我们用了 Reynold transport formula (别被名字吓住了其实是个很常用的公式，是Green theorem 的变式) https://en.wikipedia.org/wiki/Reynolds_transport_theorem。

我们有以下分部积分公式，

.

如果 D 边界是smooth 或者piecewise smooth 这个公式是 Green 公式的推论。回忆可求长的定义是说这个曲线可以被piecewise linear curve逼近。如果 只是可求长我们可以先对piecewise smooth 曲线证明，然后取极限证明一般情形。

然后对 的表达式应用上述公式，我们有

这里因为 位于 D 内部，在这些曲线的边界项会出来一正一负两项互相抵消。 上式第一项等于0，因为 f 在 全纯，第二第三项互相抵消。所以 ， 全纯。

我们现在已经证明了， 全纯，由卷积的性质我们知道 uniformly。所以由 Hurwitz theorem https://en.wikipedia.org/wiki/Hurwitz%27s_theorem_(complex_analysis)，我们知道 f 也是全纯函数，所以就完成了证明。