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剩余类环的所有理想怎么求? 第1页

  

user avatar   zhou-yu-001 网友的相关建议: 
      

我们慢慢来数一下他的所有理想

命题1:剩余类环 每一个理想可由一个元生成

证明:首先 中的理想总是有限生成,任给理想 由有限个元生成,给 是生成元,则取 ,有 ,且可以生成 ,所以就可以从生成元中去掉 再添加 ,由此就可以一步步减少生成元,所以最后变成一元生成的理想。

命题2:剩余类环 中的所有理想的类对象是

证明:由命题1, 每一个理想都可表示成 。如果 ,存在整数 使得 ,故 ,且 ,于是 。

命题3:任给 的正整数因子 ,在剩余类环 中有

证明:若不然,则有同余方程 和 都有解,那么必须得到 和 ,即 矛盾。

结论:剩余类环 中的所有理想的数量等于 的所有不同正因子的个数。




  

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