｛mr+n！ | m∈Z，n∈N｝是否在R上稠密？ 第1页
1
zhang-han-yu-1 网友的相关建议:
这个问题等价于： 这个数列的小数部分是否在 稠密？其中 也是一个无理数。答案是：有可能稠密，有可能不稠密。
不稠密的例子：
取 ，则 ，显然第一项是整数，而第二项满足 ， 因此第二项就是 的小数部分。从而 的小数部分不是稠密的（唯一的聚点是 ）。
稠密的例子（构造性证明）：
设 是 中的全体有理数（可列），并假设 是既约分数。又设 是一列（待定的）严格递增的正整数，并定义
。固定一个正整数 ，注意到：
我们的想法是，让 是一个整数，让 是一个很小的数，以至于 。这样一来 的小数部分恰好是 ，当 变化时， 小数部分会跑遍每一个长度为 的有理区间，因此就稠密了！
为了让 是整数，只需要让 能够被每一个 （ ）整除。因此只要取 就行。
为了让 足够小，注意到
，因此只要取 即可。
因此我们可以“递归地”选取 ：只要取 ，且 ，这样构造出的 一定满足 的小数部分在 稠密！
求一个点赞...
1
相关话题
如何评价「泛函、映射、算子、变换都是函数，是搞数学的人骗普通人的把戏」这一说法？实际情况如何？这道数列极限题怎么解 涉及到排列组合 不会啊?
空间中有多于一个的同种（比如都是正电荷）点电荷，如何说明此时一定有一点电场强度为0？
如何证明这个收敛性问题？
当年有哪些让你拍案叫绝的高中数学题？
这个题如何用Stolz定理？
如何从初一开始努力考上合肥168中学（省内知名高中）？
数学工作者如何看待中医？
物理系学生感觉自己陷进数学里了该怎么办？
既然勒贝格积分是黎曼积分的改进，那为什么还要学黎曼积分？淘汰黎曼积分，直接学勒贝格积分不好吗？
前一个讨论
这个四极矩辐射场功率的积分怎么算出来的?
下一个讨论
如何证明Painlevé连续开拓原理？
相关的话题
数列 2，4，6，7，8…… 后面的数字是什么？平分三角形面积的所有直线的所有交点是什么图形？
(1+e^((-2k-1)pi)) k 从0到无穷的连乘怎么算？
维数可以是虚数吗？
这个定积分怎么搞？
怎么算这两题的敛散性？遇到这种题，步骤是什么。谢谢(*°∀°)=3?
请问这个极限如何计算？
高数这么难，是不是一大半的锅要同济版高等数学这本教材来背？
数学上积分结果的本质是什么？
为什么会有 i 这一虚数？可以求出 i 的值吗？
三阶魔方公式的最大周期是多少？对应的公式是什么？
如果让顶级的数学家来做 2018 考研数学会怎样？
麻生公开课教材问题如果a, b是两个相等的实数，那么a=0.是否正确？
数学 PhD 有很多内容要学习吗？
为什么函数的解被称为「根」？
数学上有什么有名的结论是利用另一个数学分支上的知识得到的？
在三角形abc中，∠B=90°，点D在边BC上，∠BAD=2∠C，AC=12,DC=8求AB？
是否存在实数a>1使得数列sin(a^n)收敛？
如何证明一个同时以1和π为周期的函数无最小正周期？
空间中有多于一个的同种（比如都是正电荷）点电荷，如何说明此时一定有一点电场强度为0？
怎么算这两题的敛散性？遇到这种题，步骤是什么。谢谢(*°∀°)=3?
世界上是不是不存在完美的圆？
这个数列极限的定义反过来为什么就不行?
求使 y=sqrt(x+a)+sqrt(x+b) 成立的正整数对 (x,y) 的数量这一类的题如何解？
给 n 个数的加法加括号的方法有多少种？
怎么形象地理解对偶空间（Dual Vector Space）？
为什么中国小学数学教育要揪“除”和“除以”的区别？
数值分析中割线法的收敛阶是如何证明的?
如果我有一个函数 f(x) 表示第 x 个素数有什么用？
两个数的差取整等于两个数先取整再做差吗？