格林公式为什么不对称啊？ 第1页

首先将Green公式的内容表述如下。

定理1（Green公式）设 是 中的有界闭区域， 由有限多条分段光滑曲线组成，若 ， ， 及 均在 上连续，则 其中 的定向为正向。

题主想说的，可能是右边的函数是“不对称”的，出现了一个负号。

但是事实上，注意到

因此公式 还可以写成 看，多对称呀。

在重积分理论中，有“三大公式”，还包括Gauss公式和Stokes公式。

事实上，Stokes公式也是非常“不对称的”。

首先将公式列举如下。

定理2（Gauss公式）设 是 中的一个有界闭区域， 由有限多个双侧的分片光滑曲面组成，定侧为外侧。又设 ， 和 ，则

定理3（Stokes公式）设 是 中的一个双侧的光滑曲面，它由参数方程 给出，其中 ， 和 ，边界 由有限多条分段光滑曲线组成。又假设存在开集 ，使得 ， 和 。现选定 的一侧，并由此确定 的方向，则有

看上去右边是比较复杂的，但是公式 也可以被简化为 这便减小了记忆的难度。

事实上，定理1到定理3是可以有统一的表达式的。

这也可以解释为什么公式的右边会这么“复杂”。

以下这些内容是我们的数学分析课程上，老师所给的一些扩展，可以加深自己的理解。

一、微分形式

首先，对于 中的 ， 和 ，我们可以定义“外积”运算 ，满足

（1） ；

（2） ；

（3） 。

注意到运算 并不满足交换律，这和我们之前在线性空间中所定义的外积有一定的相似之处。

接下来，设 ， ， 和 都是定义在 上的函数，我们先给出所谓的“微分形式”的定义。

（1）称 为 次微分形式，其相当于没有作微分运算；

（2）称 为 次微分形式，其是第二型曲线积分中出现的部分；

（3）称 为 次微分形式，其是第二型曲面积分中出现的部分；

（4）称 为 次微分形式，其是体积分中出现的部分。

在这样简单的定义之下，我们可以来研究一些比较特殊的运算。

二、外微分运算

接下来，我们可以定义外微分运算 ，满足对于 次微分形式，有 接下来，对于 次微分形式，记

则有

注意到此时右边便是Stokes公式右式中出现的被积函数。

再进一步，对于 次微分形式，记

则有

注意到此时右边便是Gauss公式右式中出现的被积函数。

三、三大公式的统一

在上面的定义的基础上，可以将三大公式写成一个统一的形式。

（1）对于Green公式，记

则可以将其简记为

（2）对于Gauss公式，记

则可以将其简记为

（3）对于Stokes公式，记

则可以将其简记为

注意到以上的公式，形式都是统一的，并且都是从低维向高维的过程。

事实上，这些公式都可以被认为是Newton-Leibniz公式的推广。