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这道函数问题怎么解决? 第1页

  

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可得八个根分别为 ,下证此时取到最小值 。

第一步

设八个正整数根分别为 (严格递增),若 ,取 可以使 严格减小。故不妨设 。

第二步

容易证明

进而

进而

而我们知道, 恒成立,因此 个不等号均取等。

第三步

分析第 个取等条件及 的单调性,易知 对 均成立,立得 关于某点 对称。且有 (或者 )。这意味着

进而


第四步

先考虑以上不等式组取等时的情况,此时有

此时分析第 个取等条件及 的单调性,同理直接得到 关于某点对称。设

由 立即得到

故对称轴横坐标

从而 ,类似地有 ,可构造

使得 对每个 成立。

第五步

我们证明若第三步中的不等式组不取等,则 。

若 ,立即有 , ,进而 ,从而

若 ,立即有 ,进而 ,从而

综上所述, 最小值为 。




  

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