其实仔细看一下三角多项式的正交逼近和L2逼近就会发现,这两个其实完全是两码事。比如说,如果在 上 ,那么L2意义下的逼近是部分和 ,这实际上是L2意义下的最佳逼近,但是一般不是对连续函数的一致逼近,真的需要一致逼近的话我们需要考虑其他的线性组合,比如Cesaro平均。甚至这个部分和都未必是逐点收敛到f的。
因此,如果按照原问题,如果我们有一列完备正交系 ,那么要看一致逼近的话,一定不能考虑 ,而要去考虑 上的逼近,这个时候是不是正交其实不重要。所以这么想这个问题就没啥意思了……
但是还是回答一下吧,顺便科普一下Stone-Weierstrass逼近定理:
设X是紧Hausdorff空间,A是X上实函数的子代数,那么A在一致范数下稠密当且仅当A分离X中的点(任意x,y存在A中的f使得f(x)不等于f(y))并且在每个点上非零(任意x存在A中f使得f(x)非零)。
因此,如果要看一个 是不是稠密的,一般分离点、非零是容易验证的,只需要看这是不是一个代数就够了,也就是对乘法封闭。比如三角函数张成的确实是代数,勒让德多项式也没问题,其他的恐怕未必,自己验证吧。