蜗牛从10米深的井底爬，白天爬一米，晚上下落x米，其中x为[0,2]米的随机数，那么爬上的期望是多少？ 第1页
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mo-fa-shao-nu-cai-xu-lun 网友的相关建议:
更新一下精确求解的思路，我放在最后吧。
想到了一种精确的计算方法。在此基础上，对于 米深的井，我得到的期望天数为
放个结果对比：
晚一些时候把证明过程放上来。
但是对于 米深的井，首先我需要算出一个 阶三对角矩阵的特征值……好巧不巧这些特征值都可以根式表达，所以理论上结果也可以摆上来。我一定会做出来的……
首先给出结论：爬上井所用期望的天数（口胡！是天数的期望！）约为 天。（这个结果是改正过的。我的过程算差了一天，后面会有提到（呜哇哇））
写一个可以数值求解的方法吧。
设第 个晚上后，蜗牛在井底的概率为 ，已经爬上的概率为 ，在距井底 区间内的分布函数为 。
那么 ， ， ， 。
根据一些简单的概率学知识（具体推导过程暂且留做习题，等我以后来补）：
那么所求即为
为方便计算，我们定义 那么所求期望可表示为
前述递推公式可重新表述如下：
试图寻找解析表达式失败，转而计算数值解。菜鸡编程：
a = 0.5 ; (*c9[1] = 0.;*) For [ n = 0 , n <= 4000 , n ++ , c [ 1 ][ n ] = N [ 1 / ( 2 ( n + 1 ))]; For [ l = 2 , l <= 9 , l ++ , c [ l ][ n ] = 0. ]]; For [ k = 2 , k <= 3999 , k ++ , c9 [ k -1 ] = c [ 9 ][ 1 ]; Print [ c [ 9 ][ 1 ]]; (*not c9[k]!*) aa = ( a + c [ 1 ][ 0 ] - c [ 1 ][ 1 ]) / 2 ; For [ n = 0 , n <= 4001 - k , n ++ , cc [ 1 ][ n ] = ( a + c [ 1 ][ 0 ] + c [ 2 ][ 0 ] - c [ 2 ][ n + 1 ]) / ( 2 ( n + 1 )); For [ l = 2 , l <= 8 , l ++ , cc [ l ][ n ] = ( c [ l - 1 ][ n + 1 ] + c [ l ][ 0 ] + c [ l + 1 ][ 0 ] - c [ l + 1 ][ n + 1 ]) / ( 2 ( n + 1 ))]; cc [ 9 ][ n ] = ( c [ 8 ][ n + 1 ] + c [ 9 ][ 0 ]) / ( 2 ( n + 1 ))]; a = aa ; For [ n = 0 , n <= 4001 - k , n ++ , For [ l = 1 , l <= 9 , l ++ , c [ l ][ n ] = cc [ l ][ n ]]]]; 以下是 的图像， ：
的对数坐标图像：
可以看到对于较大的 ，可以近似视为指数衰减。近似计算天数期望（我跑的时候用的变量名不一样，嘤嘤嘤）：
为了估计误差，我们以 两项的比值为公比，将其后的诸 近似为等比数列：
可以看出误差项约为 。于是我们得到，蜗牛爬上井口所用天数的期望约为 天。这个数值也位于@lhy 所得估计范围的近似居中位置。（他还提到期望约为 天，或许大家可以检查一下我有没有犯差了一天的低级错误……）（补充：我代码错了，c9[k]得到的其实是k-1天的值，所以我的确算多了1）
以下是求出期望的精确值的方法。
首先考虑 米的情形。回顾我们之前提到的递推公式在 米时的对应情形：
我们定义 ，可以得到一个优美的关系：
其中 是和 无关的量！
于是我们有非常美妙的推论：
于是，
特别地，取 以及 ， 以及 ，我们可得：
同时我们不难得到
可以看出以上 个方程（注意有 符号的是两个方程）是关于 的线性方程组，其中
而我们所求天数期望即为
由于求解过于复杂，交给Mathematica处理：（对不起我日常没有良好的编程素养！）
Solve[{c100 + I c200 == (-I) (E^(I/2) - 1) (a0 + c100 + (1 + I) c200 + 1), c101 + I c201 == (-I) (E^(I/2) - 1) (a1 + c101 + (1 + I) c201) + E^(I/2)/2 (a0 + c100 + (1 + I) c200 + 1), c110 + I c210 == (-2 E^(I/2) + (2 + I)) (a0 + c100 + (1 + I) c200 + 1), c111 + I c211 == (-2 E^(I/2) + (2 + I)) (a1 + c101 + (1 + I) c201) + (-2 + (2 - I) E^(I/2)) (a0 + c100 + (1 + I) c200 + 1), c100 - I c200 == (I) (E^(-(I/2)) - 1) (a0 + c100 + (1 - I) c200 + 1), c101 - I c201 == (I) (E^(-(I/2)) - 1) (a1 + c101 + (1 - I) c201) + E^(-(I/2))/2 (a0 + c100 + (1 - I) c200 + 1), c110 - I c210 == (-2 E^(-(I/2)) + (2 - I)) (a0 + c100 + (1 - I) c200 + 1), c111 - I c211 == (-2 E^(-(I/2)) + (2 - I)) (a1 + c101 + (1 - I) c201) + (-2 + (2 + I) E^(-(I/2))) (a0 + c100 + (1 - I) c200 + 1), a0 == 1/2 (a0 + c100 - c110 + 1), a1 == 1/2 (a1 + c101 - c111 + a0 + c100 - c110 + 1)}, {a0, a1, c100, c101, c110, c111, c200, c201, c210, c211}] 结果如下。
其中的 "c210"即为 ，它等于 意味着爬出井的概率为 ，这很合理。"c211"即为 ，虽然形式为复数，但我们的线性方程组中包含的含复系数方程是成共轭对出现的，解的虚部显然为 。通过将虚指数转化为三角函数即可得到一开始的结果。
现在进入正题。回顾我们之前的 之所以可以如此定义，是因为递推公式中从左侧诸 的系数到右侧诸 的系数的线性变换对应的矩阵为 ，其特征系为
对于原问题，这个矩阵是一个 阶矩阵
可以看到它的特征多项式 ，得到特征值
这个多项式在 上的分裂域为 ，其中 有最小多项式
我们可以用 来表示所有的特征值和单位特征向量：
定义 （因为有Eisenstein求和约定，其实写出求和号不是一个好习惯……但是知乎上还是怕人看不懂）
那么
其中
同样地，
特别地：
类似定义 ，我们得到如下的线性方程组：
其中 的定义见前文特征向量部分， 它们在 处定义为连续极限值
这是一个 元一次线性方程组，运用线性代数知识可求解之。特别地，解出 后可得所求期望即为
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