一个函数的不定积分存在有哪些必要条件或者充分条件？第1页

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这是 W. H. Young 在 1910 年提出的问题^[1]，想找一个函数有不定积分的充要条件。

我们知道很多必要条件，比如：

导函数满足介值定理，也就是 Darboux 函数。
导函数是一列连续函数的极限，也就是 Baire 1 函数。Baire 的一个定理^[2]是，一个函数是一列连续函数的极限当且仅当对任意非空闭集，在的子集拓扑中有连续点。
Lebesgue 的一个定理是，一个函数是 Baire 1 函数，当且仅当对任意，和都是集。
Baire 的另一个定理是，Baire 1 函数的不连续点是的第一纲集。实际上，一个集合是某个导数的不连续点集，当且仅当它是的第一纲集。^[3]
Zahorski 的一个定理是，一个函数既是 Darboux 函数又是 Baire 1 函数，当且仅当对任意以及或，都有 (1) 是集 (2) 对任意和，和都是不可数集。^[4]

我们还知道很多充分条件，比如：

连续函数一定是导函数。
实际上可以更弱一点，几乎连续的有界函数一定是导函数。^[5]几乎连续函数的两个等价定义如下。局部定义：对任意存在可测集使得其在点的 Lebesgue 密度为 1，并且在点连续。全局定义：对任意，和中的每个点在各自集合中的 Lebesgue 密度都为 1。

还有一些相关的结果：

现在我们知道三个充要条件：

C. Neugebauer 的定理^[9]：设是区间。是导函数，当且仅当对每个闭区间可选取点满足 (1) 对每个都有 (2) 对只在端点相交的闭区间有，其中表示区间的长度。

C. Freiling 的定理^[10]：设是区间。是导函数，当且仅当对任意存在使得，对任意子区间、任意两个带标志点的分划以及，只要满足以及，就有。

我在高中发现的定理^[11]：是导函数，当且仅当存在，对任意和，存在使得，对任意“带标志点的无序分划” ，只要满足 (1) (2) 在以为端点的开区间内 (3) (4) ，就有。

你更喜欢哪个条件？也许你能发现更好的充要条件！

参考

^ W. H. Young, On the differentiation of functions defined by integrals, Trans. Camb. Phil. Soc., vol. 21, pp. 397-425.
^ https://math.ucsd.edu/_files/undergraduate/honors-program/honors-theses/2012-2013/Siuyung_Fung_Honors_Thesis.pdf
^ John J. Benedetto, Real Variable and Integration With Historical Notes. p. 30.
^ Z. Zahorski, Sur la primière dérivée, Trans. Amer. Math. Soc., vol. 69, pp. 1-54.
^ A. Denjoy, Memoire sur les nombres dérivés des fonctions continues, J. Math. Pures et Appl., vol. 1, no. 7, pp. 105-240.
^ A. M. Bruckner, Differentiations of Real Functions, p. 113.
^ A. C. M. von Rooij and W. H. Schikhof, On derivatives of functions on disconnected sets I, Fund. Math., vol. 131, pp. 83-92.
^ D. Priess, Algebra generated by derivatives, Real Anal. Ex., vol. 8, no. 1, pp. 205-214.
^ C. Neugebauer, Darboux functions of Baire class 1 and derivatives, Proc. Amer. Math. Soc., vol. 13, pp. 838-843.
^ C. Freiling, On the problem of characterizing derivatives, Real Anal. Ex. vol. 23, no. 2, pp. 805-812.
^ 以后可能会写篇博客文章