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康托尔著名的对角线证明? 第1页

  

user avatar   yuhang-liu-34 网友的相关建议: 
      

其实很多这些反驳的人,他们没有意识到,他们的“反驳”在于他们的数学哲学立场不同。比如他们实质上是在反对实数的构造方法,比如不承认戴德金分划,或者无限小数的构造方法。那么因为他们反对了实数的构造法,对他们而言,实数就是一个没有定义的东西,[0,1]区间也是一个没有定义的东西,[0,1]里面的元素可不可数也就不是一个有意义的问题。

哲学立场差异无所谓对错,ultra-finitists甚至反对任何无穷集合的存在,比如他们认为自然数不应该构成一个集合,那么对他们而言连“可数”这个概念都是没有意义的。ZFC其实也选取了某种哲学立场,比如著名的分离公理,实际上也是对“集合”这个概念的一种限制条件(这个公理的目的是为了避免罗素悖论)。既然主流数学可以提限制性的公理,那么一部分人要求提更强的限制公理也是很正常的。确实有数学家心理上就抵触“无穷”这个概念,觉得对无穷的讨论让人不舒服。

但是反对某种哲学立场,不意味着 持这种哲学立场的人,在自己的框架内就不能讨论自己关心的问题。ZFC框架下建立实数理论,然后讨论实数集合的不可数性,这个完全是合法的(valid);康托尔的证明也是完全符合ZFC公理和基本的逻辑公理的。你不能因为自己反对实数定义就不允许别人讨论实数,这也太霸道了。。当然有人不是真的反对实数构造,大部分人只是没有理解实数构造(比如很多人没想清楚,无限小数到底是什么样的数;因为他们没正确理解无限小数,导致他们会写出0.0000..(无限个0)01这样的数)。但不管是没有理解,还是理解了之后表示反对,都只能代表你自己的立场,不代表接受这种立场的人不能在这个框架内做自洽的逻辑推导。




  

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