和女朋友在商场走丢了，随机乱逛和守在特定地点等候，哪个相遇的概率更高？ 第1页

离散空间，尤其是离散时间的模型，处理这种问题特别麻烦，不如考虑一个连续模型。

商场看作R^2，两个人初始分别在(0,0), (1,0). 其中一个人做标准布朗运动，或者两个人分别做独立的标准布朗运动。当两人的距离小于某个小常数，比如0.01时，视为相遇。由于二维布朗运动是邻域常返的，两人一定能相遇。

如果一个人动，另一个不动，二者的坐标差的变化就是一个标准布朗运动。如果两个人都动，坐标差的变化是两个独立标准布朗运动的和，相当于标准布朗运动的方差加倍。这等效于一个人以两倍的速度动，另一个不动，相遇用时自然减半。

简言之，一个一倍速的布朗运动，观测另一个独立的一倍速的布朗运动，看到的其实是个二倍速的布朗运动。

总之结论是随机乱逛更好，能节约一半的时间。

注：考虑两个独立的标准布朗运动B(t), W(t). B(1)+W(1)和B(2)同分布，因为B(2)=B(1)+[B(2)-B(1)]，也是两个独立标准正态的和。这是说两个独立标准布朗运动的和在t时刻的分布，等于一个标准布朗运动在2t时刻的分布。在这个意义上我们说“速度加倍”了。实际上，对于布朗运动，速度按照“对单位时间内的轨道求全变差”作为定义，是无穷。