求大佬指教一道新定义数列问题如何做？ 第1页

首先注意到：

• ,
• ，
• ，
• ，
• ，
• ，一般的，
• .

以下依次解决三个小问：

• 若，则，，.
• 因为具有性质P，故.
• 不具有性质P，故.


• 因为不是等比数列，故至少存在一项，使得，故.
• 若恰好有，则命题成立.
• 若，则. 并且.
• 若在中有两个重复，则证明结束.
• 若在中两两不重复，则. 故必在其中，命题成立.

• 不妨先假设具有性质P的三项就是，且，也即

考虑，故. 类似的. 故除过外的其余项之和为

• 一般的，假设具有性质P，其余项不具有，具体的要求

则

考虑，故. 类似的

而，考虑，故. 类似的，，而，故，

因此同上有和式为.

总体来看是楼上大佬的思想的实现.

卸腰，说一下思路。这个问题大概思想是抽屉原理。

第一问不用说了吧，先说第二问。由归纳法可以证明每一个a_n都可以表达成a*q^{x_n}，x_n为自然数的形式。称x_n为a_n的指标。还是用归纳法证明，a_n的指标不大于n-1。如果不是等比数列，由抽屉原理立刻知道有两个项的指标是一样的，这两项相等。

第三问，可以这样想，去掉三个“异类”以后剩下的就是一个等比数列。

btw，看这个风格，难道是北京高考题？(