如何用变分法证明圆是同等周长下，面积最大的平面图形？ 第1页
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设D为图形的区域，则 为图形边界，图形周长为2πR，因此题目的问题可以改写为：
根据格林公式： ，我们不妨设 ，则目标函数可以被转化为： 。因此，我们可以使用拉格朗日乘数法构造：
则S被称作泛函，F被称作为泛函核。当泛函S取极值时，其核函数F必须满足欧拉-拉格朗日方程：
其中：
把 代入到(1)式，得：
两侧同时积分，得：
把 代入到(2)式，得：
两侧同时积分，得：
(3)+(4)，得：
由于x和y有无数种参数方程表示，所以我们只取其中一种方式（设 ）：
因此 ，把 代入到优化问题的限制条件中：
由于 ，所以 ，因此周长为L且面积最大图形的直角坐标表达式为：
即圆形。
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