如何用变分法证明圆是同等周长下，面积最大的平面图形？ 第1页
1
travorlzh 网友的相关建议:
设D为图形的区域，则 为图形边界，图形周长为2πR，因此题目的问题可以改写为：
根据格林公式： ，我们不妨设 ，则目标函数可以被转化为： 。因此，我们可以使用拉格朗日乘数法构造：
则S被称作泛函，F被称作为泛函核。当泛函S取极值时，其核函数F必须满足欧拉-拉格朗日方程：
其中：
把 代入到(1)式，得：
两侧同时积分，得：
把 代入到(2)式，得：
两侧同时积分，得：
(3)+(4)，得：
由于x和y有无数种参数方程表示，所以我们只取其中一种方式（设 ）：
因此 ，把 代入到优化问题的限制条件中：
由于 ，所以 ，因此周长为L且面积最大图形的直角坐标表达式为：
即圆形。
1
相关话题
平分三角形面积的所有直线的所有交点是什么图形？给定曲率下界，平面上什么曲线所围面积最大？
「圆周率＝4」这个说法是否真实？
怎么证明算术平均数大于等于几何平均数？
这个几何证明题怎么做？
假设我们已知三角形内角和为180度,那么(凸)多边形的内角和是如何计算的（用数学方法论的方法解决)?
有哪些有趣的或者是反常识的数学问题？
研究尺规作图时发现一个猜想不知是否可以完全解决？
这个几何证明题怎么做？
如何证明此角度为90度?
下一个讨论
为什么有这么多人吃狗肉？
相关的话题
会不会有一条线段蕴含了宇宙所有的秘密？为什么不把高中的正余弦定理和直线与圆的方程知识放到初中学？
中国版图的外接圆（即最小的能把中国全境包围于其中的圆），圆心在什么地方？
有哪些神奇的数学巧合？
一个同时有内切椭圆和外接椭圆的多边形满足什么条件？
有哪些有趣的或者是反常识的数学问题？
面积有限的物体，周长是否有限？
为什么n维欧式空间中的单位球面（n-1 sphere）的表面积和体积，在 n 趋于 ∞ 时，都趋于0？
是否所有简单闭曲线都同胚与圆周？
圆的面积 S 与半径的平方 R² 成正比，是从数学上的严格证明，还是一种数学直觉？
西方最早可称为科学的为什么是《几何原本》而不是算术原本？
三根表针，两两互为 120° 是几点？
如何证明圆上若干点构成的多边形最大面积在正多边形时取到？
数学或者自然科学中有哪些理论技巧一经提出就大大化简了过去某些问题很困难繁琐的解答？
关于悬链线问题，除了变分法，有什么巧妙解法吗？
照亮一个球面至少需要几个点光源？
在一个边长一米的立方体容器内装满圆球，使用直径多少的相同圆球能使装入的圆球总体积达到最大值？
拓扑领域有哪些美妙的工作？
在本科数学阶段你学过最有趣的一门数学课是什么？为什么？
高中数学中的空间几何题目理论上都可以用几何法解，对吗？
如果边数为偶数的凸多边形存在内切椭圆，并且其对边切点连线交于一点，则此多边形的对角线也交于此点吗？
明明三角形是最稳定的结构，但是为什么在交往中三角反而不稳定呢？
代数、几何能否联系一起？
明明三角形是最稳定的结构，但是为什么在交往中三角反而不稳定呢？
如果一个圆的半径无限大，那它还是一个圆吗？
圆周率 π 为什么最初没定义成「周长与半径的比值」？直径和半径，哪个是构成圆最基本的单元？
一个直径为1的圆，最少多少个直径小于1的圆可以覆盖？
轴对称图形只能看出来么，不能证明么？
古代管三角形叫什么？为什么勾股定理被称为勾股？
为什么三角形内角和一定是 180 度？