这种区域的积分通常采取下列换元方法
设x=u-uv,y=uv-uvw,z=uvw。
可将积分区域换为u,v,w∈[0,1],其后利用B函数化为Γ函数易做,其他答主已经给出答案,就不在赘述。
这里再多介绍一下这种换元吧,通常来说,积分区域为xi>0,x1+...+xn≤1(i=1,2...n)的重积分均可由变换
x1=y1-y1y2,x2=y1y2-y1y2y3.....xn=y1y2...yn
将区域变为yi∈[0,1],然后将重积分变成n个累次积分然后易求出,唯一的难点是它的变换Jacobi行列式怎么求?直接求稍显麻烦,我们可以考虑用隐映射定理,灵感来自于一般教材上求n元球坐标时的换元行列式的方法。
注意到
x1+...+xn=y1
x2+...xn=y1y2
......
xn=y1...yn
将右边移向左边,记左边为F(x,y)。
得方程F(x,y)=0,那么应有
∂(x1,x2,...,xn)/∂(y1,...yn)的绝对值为
| detJyF/detJxF | =y1Λ(n-1)y2Λ(n-2)...y(n-1)
即得所需行列式
这种换元还可以用于区域为类似x≥0,y≥0,x³+y³≤1的情况,仅需令x³=u-uv,y³=uv即可。
本萌新重积分没学多久,也想来整点活,有错误请指出~
使用代换 ,其Jacobi行列式的值为 。这样有
。
其中 。容易看出上式可以化为三次单积分:
。
最后计算积分得到
。