格林公式教材上的证明是否存在漏洞？ 第1页

为了回答这个问题，我翻阅了几本常见的微积分教材，也可以对比一下格林公式的不同证明方法.

一（白嫖派）.同济高数，高教华师大版（就是问题里面的截图版），数学分析（周民强），数学分析教程（常庚哲），数学分析（陈纪修）采用的证法思路均是这样的思路，即将区域分割为有限个简单的"x"型或“y”型.先证明单个的简单区域上格林公式成立，那么有限个自然成立.这种证明方法通俗易懂，但是遇到题主这种奇怪区域的质疑就行不通了，因为不是所有区域都可以切割为有限个简单区域的.当然他们回避的说辞各有不同，摘出来看一看

同济高数：如果闭区域不是简单区域，那么我们可以通过引入一条或几条辅助线把它分成若干部分，每一部分均为简单区域……证毕.下面来看格林公式的几个简单应用

高教华师大版：……可以适当添加直线段转化为简单区域……格林公式沟通了二重积分与曲线积分，便于记忆巴拉巴拉

数学分析（周民强）：……对一般的单连通区域，证明要用到尚未讲过的知识，故将其证明略去.

数学分析教程（常庚哲）：其实上述公式对于更一般的区域也成立，我们把结论写成如下定理……

数学分析（陈纪修）：对于格林公式一般情形的证明较为复杂，这里从略.

二（流形派）.数学分析讲义（陈天权），数学分析讲义（梅加强），数学分析原理（Rudin），数学分析（卓里奇）

这几本教材均给出了一般情形格林公式的证明，思路都是借助微分流形，不过方法各异，四个思路都可以学习借鉴一下

数学分析讲义（陈天权）：先利用曲线的参数方程与曲线积分的定义给出了曲线积分上的牛莱公式，然后借助将区域分割为若干向量张成的平行四边形证明了形式化的格林公式（陈天权说明了这个证法不严谨），这两步都埋了伏笔说他们是高位斯托克斯公式的特殊情形，最后证明了最一般形式的斯托克斯公式.最后的证明分两步，先证明k维欧氏空间和k维半空间上的特殊情况，然后借助单位分解和坐标图卡回拉直接推广到一般形式.（典型的铺垫二十页，引理证十页，定理证半页）

数学分析讲义（梅加强）：这本结构比较独特，在多元部分直接借助各种拓扑和流形工具，在空间的超曲面求解局部隐函数运用多元积分换元得到了余面积公式，利用余面积公式将一般的二维区域通过平移和正交变换，以及曲线的重新参数化（梅加强是多爱变换……），将区域化为矩形，然后格林显然成立.不过上述骚操作需要边界是C2曲线.分段C1曲线边界的证明与陈天权类似，由于是线性公式，借助单位分解和拉回证明.

数学分析原理（Rudin）：这本书的难度不用我多说，Ru老爷子的证明是能省就省，能一般就不特殊.因此他只给出了最一般的斯托克斯公式的证明.由于这本书一开始的定位就比较高，因此运用了许多代数拓扑的概念，借助单形和链来证明的斯托克斯公式.

数学分析（卓里奇）：这本书是公认的内容详尽，卓老爷子首先把白嫖派的方法放了上去，然后诙谐地说：“在这里我们不打算对这种方法进行更细致的讨论（关于这一点请看后面的习题），我们下面展示另一条更有效的方法”.设C是正方形在光滑映射下的象，他证明了C上面格林公式成立，然后老爷子又幽幽地说道：“能够证明分段光滑曲线围成的区域都可以拆成有限个C，但是我不准备去证明它，因为稍后我将在第十五章展示一种行之有效的方法避免这种几何困难”.在第十五章卓老爷子利用单位分解和外微分，在图里面证明了斯托克斯公式，格林公式作为特例自然成立.在那个课后例题种，卓老爷子给出了一个思路，我不知道有没有人做过，就是“对于分段光滑曲线围成的区域，总存在一个坐标系，在这个坐标系下区域可以划分为有限个简单区域”，我感觉这个是解决题主疑问的一个有效方法.

三（定义派）.微积分学教程（菲赫金哥尔茨）

我就是要用 证出来！！！！

菲老爷子同样先演示了一下白嫖派的几个简单证明，但是对于一般情况，他充分地发扬了“分析就是不等式技巧”的核心价值观，采用了内外折线逼近+夹逼准则+定义的方法完成了证明，让人叹为观止他的分析技巧.

哎呀累死了，其实对于大部分人来说，格林公式的运用是比严格证明更重要的