教材前面给了单调有界数列必收敛的数列收敛的充分条件,但是没有数列收敛必要条件,柯西极限存在准则给出一个充分必要条件,使得教材更加完备。
柯西极限存在准则 数列收敛的充分必要条件是:对于任意给定的正数,存在正整数,使得当时,就有
证明
(1)必要性
设,由数列极限的定义,正整数,当时,就有
,
同理,当时,就有
,
因此当,时,有
,
所以条件是必要的.
(2)充分性
先假设数列收敛,即则其子数列也收敛于,由数列极限的定义,正整数,当时,就有
,
又根据已知,当时,有
,
设,
因为,当时,,
从而数列收敛,假设成立.
柯西极限存在大概描述了这样一个事,如果数列极限存在,那么极限附近的任意两点是无限接近的。
从准则的几何意义上理解比较容易,上面给出的是一个柯西数列。Y轴是数列大小Xn,X轴是项数n,当n趋近于无穷大时,数列收敛,可以得知数列存在两项差距是无穷小的。