如何证明魏尔斯特拉斯函数处处不可导？ 第1页

谢邀，非常好的问题。

我也是看了论文之后才知道的证明。证明总体用到的知识不难，但非常繁杂。

Weierstrass函数^[1]

摘自维基百科的图片

其中 为正的奇数，使得： 。

这就是Weierstrass函数的定义，是一个无穷级数。

定理的证明：^[2]

引理：M-检测（The Weierstrass M-test）

设 为一个度量空间，对于任意 ，令函数列满足每一个函数都有 。则我们假定对于任意 ，能够存在 使得：

那么我们能断言：若 收敛，则 在 上一致有界。

引理证明：对 ，由数列的柯西审敛法则发现一定存在 ，使得对 ，均有：

所以我们有对 ， ，均有：

所以由函数列的柯西审敛法则发现 在 上一致有界。

引理证毕。

回到原题，我们发现 ，所以 收敛而且 ，所以它满足M-检测引理的条件，即Weierstrass函数 存在且一致有界。由于 中的每一项 在 上连续，而且 一致有界，所以 在 上连续。

下面正式证明不可微性：即对 ，极限 不存在。

随便令一个 ,则对于 ，我们取 使得：

我们记 为：

容易发现： 。

这说明当 时， 必然有 和

所以数列 和 都趋近于 ，只不过一个从上方趋近，一个从下方趋近。

我们有等式：

把两个大求和分别记为 （ 不是无穷的， 是无穷级数）

则由和差化积公式^[3]：

由于 且 ，所以 所以存在 使得 。

现在，我们来研究 。我们有：

所以：

而其中：

所以存在 使得 。

所以将 与 合并，我们有：

由题设条件 知 。利用 和 知：

因此， 的符号被 所决定。并且：

上式左边的值变化迅速，已经可以看出来 不存在了。

当然，这对于同样也适用。

用同样的方法，我们有： 。

继续同样的方法，我们有 ，使得 。

再利用 我们得到：

由于 ，则最后一个和式中的项是非负的，并且有： 同样，我们有存在 使得 。此时：

由于之前我们证过：

所以我们仍然有：

证毕！

参考

1. ^魏尔施特拉斯函数 https://zh.wikipedia.org/wiki/%E9%AD%8F%E5%B0%94%E6%96%BD%E7%89%B9%E6%8B%89%E6%96%AF%E5%87%BD%E6%95%B0
2. ^证明 https://math.berkeley.edu/~brent/files/104_weierstrass.pdf
3. ^和差化积与积化和差公式 https://baike.baidu.com/item/%E5%92%8C%E5%B7%AE%E5%8C%96%E7%A7%AF/6973039