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如何证明求导是线性变换? 第1页

  

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先回顾什么是线性空间

一个( -)线性空间指一组 ,其中 是集合, , , 是函数,满足

  1. (associativity)
  2. (identity)
  3. (invertibility)
  4. (commutativity)

(注意其中前四条是abelian group)

易验证若 并且 , ,则 也是线性空间,称为 的子空间。

给定线性空间 , ,一个线性变换指函数 满足


(上述三条其实是Model homomorphism,2是group homomorphism,所以2推出1,一般定义均省略了1)

在处理求导运算之前,我们先处理一个由函数构成的集合,然后我们添加一些运算使它形成线性空间。

假设 是一个集合, 是一个线性空间,定义 是所有从 到 的函数,即

注意,任何 都要被理解为 的函数,即给定 , 都可以得到 。 在这里我们定义一个集合是所有的函数,初学者一定要好好理解这个概念。反之,为了决定 中的元素,我们可以通过对所有 定义一个 来定义一个 。类似的,若要验证两函数 相等,我们只需验证 。(集合论定义,在利用Topoi、Types定义的逻辑体系里并没有这层关系)。

接下来定义 和 ,使得 变成线性空间(为区别 中的运算,用 来标明 中线性空间的运算)。 给定 ,我们要定义 ,即一个 的函数,对于任意 ,定义 ,我们验证一下结合律 ,对于所有 ,

故有 。类似地,对于 ,定义 . 易验证 是一个线性空间。

接下来我们考虑一些“带有结构”的集合 令 是所有 上的连续函数,则若 在 点处连续,则 也在 处连续。同理数乘也保持连续,故 是 的子空间。

假设 是一个非空开集,考虑所有 上在 处可导函数的集合 。则在 处导数 是一个线性映射。

先验证 是一个线性(子)空间。假设 , ,即 在 处可导,则显然 也在 处可导(证明和下方的线性证明雷同),故 是子空间。 再验证线性:

进一步扩展 是所有在 中每一点中都可导的函数,则 , 也是一个线性函数, ,故 ,数乘同理。

若 是非空开集,定义集合 为所有任意阶导数存在的函数,则 是一个线性变化。注意有

最后这个尤为重要,对于一个光滑Manifold (现在可以直接理解为 的某开子集)而言,在某点 满足 Leibniz's rule( )的所有线性函数构成此点的导数空间 ,它和切空间等同,它自己也形成一个线性空间。可以证明这个空间上面的基是 ,即满足Leibniz's rule的线性映射都是方向导数。进一步地,微分是把某个流形上切向量(导数)映射到另一个流形上切向量的线性映射。

以上即对导数线性的理解。




  

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