如何求解下面的函数方程？ 第1页

我们增加难度，在仅仅要求 连续的条件下就可以求解这个函数方程

在原式代入 得到

现在再令 得到 : 对任意

也就是三阶差分

现在结合 连续 , 我们首先证明 是一个至多二次的函数 :

首先我们证明 在区间 内一定是一个至多二次的函数 .

若这一结论成立 , 我们可以向两边延申【符合这个至多二次函数关系式的区间】如下 :

利用 与 的差分关系 ,

在 时可以使区间右端点向右延申 , 这一操作可以不断进行下去 ,

同理也可以使区间左端点向左不断延申 , 因此可以证明任意 都符合这一不超二次的关系式

也就是说证明了存在实数 使得 都有

现在回到区间 中去 , 我们先证明对一切

所有这些 点都经过 所确定的二次函数 .

方法很简单 , 给定 , 只要取 在 使用三次差分的关系 .

这就能证明所有的分母为 的点都在过 的不超过二次的函数上 ,

进而所有分母 的点在一条不超过二次的函数上 , 且这一函数过

得证 , 结合有理数在 稠密以及 的连续性 , 引理得证 .

回到原题 , 还记得 , 我们代入

得到 经过验证 ,

令 方便描述 , 代回原式 , 得到

而我们有 , 经验证 , 无论 的值如何都是符合条件的 .

也就是

最后简单地说 : 当 不连续的时候 ,

考察 那么只要 满足柯西方程都是原函数方程的解

没有这个条件会引入很多病态的解 .