等词是否可以用属于来定义？ 第1页

用人话来说就是：

• 具有相同性质的对象等同（“当”部分）；
• 等同的对象具有相同的性质（“仅当”部分）。

小技术细节：为什么单箭头也可以？因为 遍历了所有性质。比如说，考虑红色的时候，如果 a 是红的，那么 b 是红的，但是同时，如果 a 是“非红”的，那么 b 是“非红”的。——因此实际上构成了 a 是红的当且仅当 b 是红的。

在宏观大尺度上来说没什么问题，这里有一个手机，那里有一个手机，空间性质不同，自然就是两个手机，空间参数完全相同自然就是一个手机。

到了别的东西上就比较麻烦了，比如说这个空间中充满着二氧化碳、也充满着氧气。我们当然可以通过别的性质来挑选出氧气和二氧化碳，但是空间性质似乎就不太好用了。非要用的话，就只能说两种气体不是占据这个空间全体，而是类似于，我们将氧分子看成实体，就像是看得见摸得着的、漂浮在半空中的球，那它所占据的位置就是那个位置，而不是这个空间本身，所以自然地，空气中的氧气和二氧化碳是不同的东西。

问题在于量子力学。

由于我没学过量子力学，所以我抄一段维基百科：

在量子力学里，全同粒子是一群不可区分的粒子。全同粒子包括基本粒子，像电子、光子，也包括合成的粒子，像原子、分子。
有两种方法可以用来区分粒子。第一种方法倚靠粒子所具有的不同的物理性质，像质量、电荷、自旋等等，假若粒子的性质有任何的不同，则可以借着测量这不同的性质来区分粒子。根据做实验获得的结果，同一种类的粒子都具有完全相同的物理性质，例如，宇宙里所有的电子都拥有同样的电荷。这就是为什么在论述时经常会提到电子的电荷，而不是哪一个电子的电荷。
第二种区分法跟踪每一个粒子的轨道。只要能够无限精确地测量出每一个粒子的位置，就不会搞不清楚哪一个粒子在哪里。这个方法有一个问题，那就是它与量子力学的基本原理相矛盾。根据量子理论，在位置测量期间，粒子并不会保持明确的位置。粒子的位置是由波函数来决定。而波函数只能给予粒子在每一个位置的概率。随着时间演变，几个粒子的波函数会扩散蔓延，互相重叠。一旦重叠事件发生，就无法区分在重叠区域的两个粒子。这样，粒子就越来越不可区分了。

这个地方的问题在于，全同，或者说，不可区分，是认识论意义上的还是本体论意义上的？如果是本体论意义上的，那么这种形式化的方式就直接破产了。

类似的不可区分的结论在数学中也有很多，因为数学结构很多都是 unique up to isomorphism，而不是单纯地等同。

比如说，我们通过 的两个根中的任何一个来扩充 ，得到的东西都是一样的，更进一步，其实我们根本不知道自己用的是哪个根，别和我说是正的那个。

所以其实数学里面，比起等于关系，同构才是更有意义的东西。等于只有在一个小尺度上以一种 make believe 的方式谈才有意义：假定我们能区分 的两个根，把其中一个抓出来，好了，你就叫 i 了，然后我们说它和 -i 不同。但是其实不是，我们只知道有两个根，而不知道哪个是 i，万一从头到尾我们指的都是 -i，其实成立的那些等式也都没变。——也就是说，i 和 -i 的数学性质在某种意义上来说是完全相同的。

当然，这里有一些生造的性质是不同的，比如说，我们知道 而 。但是，别忘了，其实你从根本上来说也区分不了自己指的是 还是 ，用这种 ad hoc 的性质来谈论问题并没有意义。类似地，你可以造一个性质叫 ，比如说代入 1 进去为假，代入 i 进去为真，代入 -i 进去为假。同样的问题——在你无法区分 i 和 -i 的时候，假定它们可以区分，然后生造一个性质过去，根本不是一个有意义的事情。这就好比：

——把你们班张伟叫来！
——我们班有两个张伟，您说的是哪个？
——就是其中的一个张伟！不和另一个张伟等同的那个张伟！
——啊？
——就是决定给自己孩子起名叫张伟的那对父母生的那个张伟！
——啊？
——怎么还不懂？你们班不是有两个张伟吗？我在这里临时命名为张伟一号和张伟二号，我要找的是张伟一号？懂了吗？