我来写一遍完整的初等证明吧,算是帮xtq填一下情形8的坑. 如果你想了解完整的证明,又懒得看英文文章,那么可以来看看这篇回答.
在这篇回答中,为了方便读者把握整体的证明思路,保证阅读的连贯性,我会适当省略一些较为简单或细枝末节的过程. 如果在阅读中遇到任何问题,恳请在评论区中提出.
先说一下本题的整体思路:按 的奇偶性讨论. 当 是偶数时,运用勾股方程、无穷递降等一系列的理论,这种情况是较为简单的;当 是奇数时,运用Pell方程、二次剩余等一系列的理论,这种情况是较为困难的. 以下是完整过程:
原问题等价于求 的正整数解, 下面按 的奇偶性进行讨论.
情形一, 为偶数时,原问题即为求 的正整数解. 简单分析知 只能形如 , 其中 . 可设 , 则 . 利用勾股方程的结论,可设 , 并分两种情况讨论:
(1) , 相减可得 . 再利用 并简单分析可知 为完全平方数,因此 是完全平方数。方程就化为了 . 由熟知结论,无解.(注:该结论将于该回答的最后证明)
(2) , 相减可得 . 再由 为完全平方数可知 或 . 于是原方程化为了 和 . 由此可以推出 , 得到了第一个解.(注:该步较为简单,读者可尝试自己证明,详细过程将在回答的最后给出)
情形二, 为奇数时,原问题即为求 的正整数解. 简单分析知, 只能形如 , 其中 . 则有 . 下证:Pell方程 在 可表示为 的形式时,只有一组解 .
记 , 且设 , 则 是上述Pell方程的第 组解. 若 , 考查数列 模 的余数可知 . 因此,当 时, 一定可以表示为 , 其中 且 是奇数. 则由Pell方程解的递推性质可知: . 再结合Pell的递推性质, , , 进而 . 因此, .
下面引入Jacobi符号. 为了方便书写,记 . 结合由递推公式给出的 模 和 的余数, , . 因此 , 矛盾!
因此 , 我们便得到了第二个解.
综上,原方程的解只有 或 .
下面来证明情形一中用到的几个不定方程:
(1) . 对该式进行恒等变形,得到 , 因此无解.
(2) . 不妨设 , 则: . 因此 或 . 分别相减,得到两种情况:
(i) , 因此无解.
(ii) , 因此无解.
(3) . 该情况和(2)几乎完全相同,因此不再赘述. 该情况下最终可得到方程的第一组解.