如何反对同学这样解释无理数和有理数一样多？ 第1页

把康托尔关于实数不可列的证明甩给他。然后，如果无理数与有理数一样多(这里默认比大小是比基数)，那么无理数可列(有理数熟知可列)，那么实数可列，矛盾。

实数为什么不可列？

只需证明(0,1)中的实数不可列。如果可列，用二进制写出这个序列(省略小数点)：

按照图里的意思构造一个实数s(对对角线位取反)。s不属于上面序列，因为s与s_i在第i位不一样。矛盾。

(这个证明有一点漏洞，不过已经把主要意思表达出来了，我懒得改。。。)

至于你同学有什么问题？你能取无理数N个就能取有理数N个，这什么都证明不了。maybe他想靠N趋于无穷解决问题，但是，取了无穷个，就取完了吗？

必须赞同一下 @鍵山小鞠 的回答。

我们现在所说的比较集合A、B的大小，实际上就是比较A和B的势，再具体地说，是在比较A和B的Cardinal谁大。

问题是，比较大小为什么要去比较Cardinal呢？选择比较Cardinal作为比较集合大小的手段并不是一个trivial的事情。可不可能去比较Ordinal呢？（当然不可能）可不可能把所有的无穷集合都当作一样大来处理呢？（这是可能的，但是正如键山小鞠所说，这样得到的大小关系会很无趣）还有没有其他的可能比Cardinal更好的用来比较大小的方式呢——毕竟那Cardinal比较会导致出现真包含关系的集合大小一样大这种反直觉的事情产生——如果能找到一个更好的比较大小的方式，即有拿Cardinal比较的一切优点，又规避其反直觉之处岂不美哉？

所以说，这个问题绝对不是一个naive的问题，感兴趣的同学可以好好思考一下，我这里先留一个坑，以后再填（或许再也不填了）

毫无问题其实

多少大小本来就是一个主观的问题，既然有理数和无理数都有无穷个，那说它们一样多不会带来任何矛盾。关键在于，所有无穷集合都一样大，这个结论是无趣的，相比之下如果有一种有趣的定义可以使得无穷大出现分层，那么在此之上又可以发展出有很多有趣的结论

所以说，如果你想要反驳你的同学，你就必须自己首先理解清楚，“承认无理数比有理数多能够带来什么样的有趣结果”，如果你自己也不清楚，那就只是无意义的争执了，就像一个人说0是自然数另一个人说0不是自然数，根本不可能谁说服谁