解决基础问题的思路在于回到定义. 这里并没有限制 ,那就应该把它当成实数. 实数次方是由有理次方的上确界来定义的(不然也无从计算). 所以它其实隐含了有理次方的函数是递增的,即若 ,则 ,也可以说 当且仅当 为同号整数,这样就只需要证明 . 这一点由反证法很容易得到:如果 , 则 .
回到原来的问题, 的定义是 . 如果 , 则肯定存在小于 的正有理数 (不存在则与上确界这一事实相违背),这时可以套用前述结论,得到 , 这时候就可以打出反人类的 Q.E.D 了.
如果上面的看不懂,没关系,请看这一段. 题主想得到初等方法的证明,想必是默认只有中学知识也能看懂. 不过在中学里,指数函数是没有严格定义的,那自然也无法严格证明. 虽然次方的概念相当自然,但实数次方却并非如此,中学水平并没有办法计算诸如 的数. 近代数学对无理数的研究方法源自于逼近,如上述的取上确界(事实上,实数系就是通过这样的方法由有理数扩展来的). 所以上述证明的必要性是显著的——并且没有更加初等的证明.