有没有一进制？一进制下1+1=几？ 第1页

（2021.11.30 更新：补点英文术语吧。有兴趣的可以按照术语自己去搜更多信息 —— 用 http://bing.com 就能搜到不少 —— 至于为什么要用英文术语，是因为中文的“N进制”中的“进”这个字是额外引入的，计数系统并不一定要引入所谓“进位”的概念；具体可参见置顶评论。）

存在一进制，英文术语一般就称为 unary numeral system，但更准确的术语是 bijective base-1 numeral system。

其基本思想是：就算一进制只能有一个数字，但这个数字不一定要是 0，完全可以是1。

这样可以表达所有正整数：

       1, 11, 111, 1111, 11111, ...     

也就是需要表示几，就用几个符号“1”（可以理解为划一道、一根树枝、一个绳结）。外加用“没有”表示0。

—— 注意：这正是人类最原始的计数法。

这种一进制下，自然有 1 + 1 = 11.

扩展一下，“N进制”的定义并不是“逢N进一”这么个概念。写个十进制的109，并不需要掰着手指头数一百多次，然后决定：个位向十位进位10来次、十位向百位进位1次……

而是“以N为底”的一种表达；十进制（N=10）下的 109 代表的含义是：

但N进制所采用的具体的N个数字，完全可以有别的选择。

平常十进制用得十个数字是 0 ~ 9，那么 1 ~ 113 是这么数数：

         1,   2,   3, ...,   8,   9,  10,   11,  12,  13, ...,  18,  19,  20,   21,  22,  23, ...,                 ...,  88,  89,  90,  91,  92,  93, ...,  98,  99, 100, 101, 102, 103, ..., 108, 109, 110,  111, 112, 113, ...     

这种是普通的十进制，英文术语为 decimal numeral system。

然而完全可以不用 0，改用 1 ~ 10（值10用罗马数字符号X表示），那么可以这么数数：

         1,   2,   3, ...,   8,   9,   X,   11,  12,  13, ...,  18,  19,  1X,   21,  22,  23, ...,                 ...,  88,  89,  8X,  91,  92,  93, ...,  98,  99,  9X,  X1,  X2,  X3, ...,  X8,  X9,  XX,  111, 112, 113, ...     

在这里，X9 这么解读：

这种十进制的子类称为 bijective base-10 numeral system.

其相对普通十进制的最大差别是没有使用数字0。人类历史上0比其它数字发明得都晚，在此之前计数其实很多时候用的是这种方式。例如：第一天、第二天、……、第十天、满一旬后的第一天、满一旬后的第二天、……、满一旬后的第十天、满二旬后的第一天、满二旬后的第二天、…………、满十旬后的第十天、满百日后满一旬后的第一天、…………

同样也可以弃用 9，改用 -1 ~ 8（值-1用1上顶个负号相似的字母T表示），那么可以这么数数：

         1,   2,   3, ...,   8,  1T,  10,  11,  12,  13, ...,  18,  2T,  20,  21,  22,  23, ...,                ...,  88, 1TT, 1T0, 1T1, 1T2, 1T3, ..., 1T8, 10T, 100, 101, 102, 103, ..., 108, 11T, 110, 111, 112, 113, ...     

在这里，11T 这么解读：

更夸张一点，弃用 8, 9，改用 -2 ~ 7（值-2用Z表示、值-1用T）也不是不行：

         1,   2,   3, ...,  1Z,  1T,  10,  11,  12,  13, ...,  2Z,  2T,  20,  21,  22,  23, ...,                ..., 1TZ, 1TT, 1T0, 1T1, 1T2, 1T3, ..., 10Z, 10T, 100, 101, 102, 103, ..., 11Z, 11T, 110, 111, 112, 113, ...     

依此类推；甚至有的别的玩出花来的方案依然可行。

扩展补充几点：

1. 用 -1(T), 0, 1 三个数表示的三进制叫平衡三进制（balanced ternary numeral system）。平衡三进制计算机（用负电位、零电位、高电位表示三个数）曾经和现在的二进制计算机（用低电位、高电位表示 0,1 两个数）竞争过，有其独特优势，不过最终没有成为主流罢了。
   
2. Excel 的列号其实是 bijective base-26 numeral system，用 A-Z 代表 1-26：A, B, ..., Y, Z, AA, AB, ..., AY, AZ, BA, BB, ......, ZY, ZZ, AAA, AAB, ......。如果把 A-Z 理解为代表 0-25 的普通二十六进制是说不通为什么 Z 后面是 AA 的。用 =column() 函数可以把列号转换为普通十进制结果。
   
3. 其实还存在很多看似非常奇怪但依然自洽的计数系统：负二进制（使用 0、1 两个数码）、根号二进制（使用 0、1 两个数码）、π进制（π为圆周率，使用0, 1, 2, 3四个数码）、2i进制（i为虚数单位，使用 0, 1, 2, 3 四个数码）……理解它们的关键是彻底抛弃掉“逢N进一”这个念头。
   
4. 这些看起来略奇怪的计数方式在很多自然语言中都有所体现。评论区有网友提供了一个世界各国语言计数系统复杂度排序（主观）的网站，可以在里面找到不少语言将9表示为“离十差一”、28表示为“离三个十差二”之类的数词构词法。网站链接：Number Systems of the World
   （中文普通话在复杂度倒数第五位，比后面的倒数第四的日语、倒数第三的中文粤语稍微复杂一点点是因为有变调情况，例如“一百”中的“一”改念“yì”；至于倒数第二的人造语言世界语、倒数第一的汤加语那个太神了，比不了。）