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家有毕业班的中学生,想知道“平行线分线段成比例定理”如何证明?思路是什么? 第1页

  

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可爱的大一新生来啦!(好久没做初等几何了⊙﹏⊙)

先放个定理的图,用Geogebra画的~

图中的三条直线平行,我们要证明 。先来一个简明的证法,利用了三角形面积公式。

作上辅助线~

首先,有 。为什么?因为两个三角形的高是一样的。之后,我们还可以得到: 。原因是他们的底是同一条边,而且高相等。为什么高相等?过点 和点 向 作垂线,垂足分别为 ,则容易证明四边形 是矩形~从而,两个三角形的高相等~同样的道理,得到 。所以得到 。右边等于什么?等于 。所以定理得证。

还有一种办法,虽然涉及一点非中学的知识,但还是简单地说一下~(事实上这也是高中教材里提到的证法)

首先,从简单的做起,假设 ,要证明 。

过点 作 的平行线,交 分别于 。则图中显然有两个平行四边形 和 。从而 。再由 可知 ~

如果不相等怎么办?我们先考虑 是有理数的情形。这时可以找一个线段单位,使得 都是它的整数倍~然后,把这两条线段按照单位等分,过每一个分点作三条直线的平行线。它们与另一条斜线 都有交点,再反复地运用上面的结论就可以啦!

最后,如果 是无理数怎么办?任何一个无理数都可以被有理数逼近。所以,考虑一系列逼近它的有理数,取极限就完事啦~(这里的问题已经是高等数学的范畴,所以我只是通俗地描述一下~)

最后,祝您的孩子考个好成绩,笔芯~




  

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