5⁴³²¹ 与 4⁵³²¹ 哪个更大？ 第1页

结论：本方法是不用计算器，不用记忆对数表，不用任何凑数技巧，

利用高中知识，在考场现场，3分钟之内，通过简单计算能够完成本类题目的通解方法，

套路在手，一切全有。

----- 以下原答案：

这题好做

题目中的方法1是正解，需要记忆lg2=0.3010， 这样lg4=2*lg2=0.6020， lg5=1-lg2=0.6990

作为高中题目，要求记忆lg2=0.3010或者在出题的时候旁边给出lg2的值，是可以的。

------ 如果没有记住lg2的值怎么办呢？ 下面来推导所有lg的数值

需要记忆 2^10 =1000 =1024= 10^3 ， 所以10*lg2 = 3 * lg 10 ，所以lg2=0.3（实际上是0.3010）

同理lg5=1-lg2=0.7, lg4=2*lg2=0.6, lg8=3* lg2=0.9

lg7不太好求，但是认为7^2=49=50, 所以2* lg7 = lg5 + lg10= 1.7

所以lg7 =0.85

lg9 =0.95 因为 lg9 + lg9 = lg 81 = lg8 + lg10 =0.9 +1 =1.9

lg3 = lg9 /2 = 0.475 (实际上是0.4771, 可见以上各步推导的误差基本可控）

lg6=lg2+lg3=0.775

以上，所有lg2~lg10 全都完成

lg1=0, lg2=0.3, lg3=0.475, lg4=0.6, lg5=0.7, lg6=0.775, lg7=0.85, lg8=0.9, lg9=0.95, lg10=1,

--- 下次有时间背sin三角函数数值表

下面计算本题

lg (5^4321/4^5321)= 4321* lg5 - 5321 * lg4= 4321 * 0.7 - 5321 * 0.6 <0

所以 5^4321/4^5321<1

所以 5^4321 < 4^5321

----------- 以上原答案 ， 以下扩展几道习题巩固一下-----

本方法使用几乎所有的 这类题目，不限于5^n, 2^n 这类形式（有的人用1024~1000）来分析。

（2） 3^10021 和 4^8021 谁大？

（3） 15^10000(=3^10000*5^10000) 和 16^9201 谁大？

（4）如何推导lg11的大小？ lg11+lg11=lg121=lg120 = 2* lg2+lg3 + lg10

（5）如何推导lg13大小？lg13+lg7=lg91=lg90=2*lg3+lg10

结论：本方法是不用计算器，不用记忆对数表，简单计算完成本类题目的通解方法。

缺点是：有误差，在计算结果非常接近0或1的时候，可能结论是相反的，当然在这种情况下，其他方法通常也很难收"紧".

--------------

2022年更新:

4321 * 0.7 - 5321 * 0.6 = 3024.7 - 3192.6 = 12.1

也就是说, 5^4321 / 4^5321 = 10^ 12.1 = 1000000000000

这个题, 不是很"紧", 所以, 很多其他方法可行度也可以, 一旦这个数字更小的时候, 其他方法就很难了.

我们容易得到：

5⁴³²¹=177577826454286375300969246786926617668777633223683202889405890969313763645908931190039321833669338958337417788487913813732204613130887590793581126591617722055949756494590325301209986292462795439927587562295308127499727730453493661477206752329984564497071408628486203994003092429420955102889006508897160533467232626507635725059571999638146574008011210894728242462995054822478989026411071093648505715123588865742758304295926401587720436584478640096630563392726266530438467970715111775518252227899122054586979395928396970526877887679761005567350861097948513715555752017253965102112847311275558660443259743131293499163329570741282316635133553833841281535221357480558938887998042494689393015475932061159341147117282611733855852954352684579729117199026445390963365647290620677875448762787807576771737976048825722085453540523624367122164239604946036211920221260562730653639833891391051143581521471509365512908199651999139127057811002490716146593036038319972594118379333597167496389916964161095960992757982399932951148197050599640131598402331495273341186422387296223249209201750621919096321479119881030918951447152414390880412084874299432339721274285123443731299500644999846291944388852053556372879323050714977172493531754204832934225942956978761299880660778917904284419734236720687019909488003285858910932853164039434897634095146586827272060890518466892960587581688625815671036584480966395620932470934235175238610142857253507421050705694932737808533752218245893312679388452960958753417002625313700573986707809098135426553411987566688738957628221235485305924399254210063535421811748463097914786744611761429449033064022303170548476538084158055009841652923090087312847447101907374518852091376878997031217522921665225736071444940292843970835872895340532571150855812389366475157606266003422225165910315757037437250267707995329471986205217291135086891172332322086898499744740861346912384228235697341375026795608657229286067670913219273717492036769398879269527872531632909971104995331301510429920488807418632414380081948768210919301048550586813846368153579002869902075552804788528340609941050986802104198557344145868629381338873240647978666182790576438600352532111908855289514915696313891222675087413524719807491957206647437259499437743535321949000053785593896746188062169300991612662180237828226975900387966755849051471335080194607082978652576790841607573232364011570114080021607600641483090873428118051905213684822460667714866291832361890748795664647098813442081252619226178574270529257951617322681175471027509304560211471892496444463522254578382320714731886340824874460375736815568979601536272214677804824438277830762690001966031105381001822258568557069350809701960313458082705396747996810427248365979122721182825615007323565841972426073020838851914445342179515418927647011835753992352093587981436026483732538465360334556062764185414690817428589340051671853497641451266021946357576429224705402161247036933547257004953096926672727759028299108422782065143598666321662046198453973501850056073043948590139962107059545814990997314453125

共3021位，而

4⁵³²¹=364094279967068365326698593255797680231901331244235834474135621895921966852075670963045165899172707869089721323843591548519227369952697484282331857265301438921052336660694910326124283426248598818923692425193614973700434788964976421473877494616553565754385397787536541647908926807767631050018881894668261531880765084677214893595340735467758199418245420513274595063670860631485712642584292371530845440767317137107305733516427428838519235330053634401555000288146145207447112079170453242325032664111354113149157149087313331137173099380592888891662572278192436668874135701241927287777358625745572784327749155790562227060998877815623353442060783052882204207135291153155962545021624357111919107616387987696226159154353211687201482029010933070235514765485800491981450103891692443320536308179713832165727449821499230781174975688446789086169378634121723357671355371520939421048555937539882784982172273254977450867249001211043957506346265141627802725039395956769187008661798949167650788548739615268927112642127668551043955929287668037140983531342265602789770178444727585571700640130176301383531257052905992572877319976542822187220231058755577806211828644316721768987311085457754886082140648010839178437111823156206187880050327101672746018034140855284971191025884999293539294263436816596023293742438789467760425284394630046997565042723291247589496199350120562024419737361033450518823139528026837592087770637252850200718595955337612682374056394429936098826061489563937691130409296132434699436531701259393322150497586549054396654447335761782585556611026595747759892661580952684454792273216301789594399248617743607760611238571106694711913216991927973518217641629774155715830695523587929073599901012764924030742892204632429961069213395461179316872703696041771198476710491622568533176439557037569397762822053457303228497634010445836772528666895837589352124060788540309407739555087048772036843258977364956948872132886172230763223268097246766051252446484173265544179460610908487161574946815471443924022709261100982322911035383129399650917833332791832104832430894563305693050304060241162378918390084769095728623650617793212266232120070909607868453403280330580996661686396580177617116787765876587435712070512924624116812283187941339598567237924502128600917095285706101084891336135052604712471210507855983770705605868109145742693406016529843167152854958938197285085922014041999432593704882338204515199119683980437762705688432654340446617188220603447948439347500790240238016760389093880508043296245911640795438315042962027832056345485666407465361107255622095263144254833093207658746648026708159660336427733160603743710088486919981560883839209427398037210010305986331908733078062293089143098146901647254337284709243086862119513941543181957193937284856921112083941317982717186133376203973326552281421654284117619510082747379839062770711141029365257988907944144533409588862477719176507393575437524499691316625684075015689719494802896632025353959680162282399080482012041629106640636004498010663191165579787422385954585465341186619467957127459232004752941775033360432645350568835233926251628983032564302338421908286535802187265040868876276502512416346496043318925019648800193451009623132211868177203130114524020052096278277184815104

共3204位，显然3204＞3021，因此4⁵³²¹＞5⁴³²¹。

我来写一个小学生就能算的：

所以 更大。

后者。

可以这样来比较

a=(5^4321)×（2^4321）=10^4321

b=(4^5321)×(2^4321)=(2^10642)×(2^4321)=(2^14963)=8×(1024^1496)≈8×(10^4488)

≈10^4489

然后a和b的大小一目了然。

当然如果你把引入的辅助式子简化一下，

(2^4321)=2×(2^4320)=2×(2^10)^432

=2×(1024^432)≈2×10^1296

然后再用a和b分别再除以这个数，你大致可以得到这两个数的精准量级。

也即是

5^4321≈10×10^(4320)/(2×10^1296)

≈5×10^3024

而

4^5321=2^10642=4×1024^1064

≈4×10^3192

结果显而易见。

---

  tang-yong-80-44 网友的相关建议: 
      

大家的方法都比较高科技，我用除法做一下这道题。笔算就能得出答案。

理由很简单，假设5^4321大于4^5321，那么前者除以后者应该大于一。

于是有了如下推导：

将4^5321拆成两部分，拆成4321个4连乘再乘以4^1000。上下两部分两两因子相除（5除以4等于1.25）。得出下一行式子。

从而得出答案小于1，继而断定4^5321大于5^4321。

答毕。

---

为了更严谨一点的话，约等那里要改成不等式。

---