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n 座桥,连通 n+1 个岛,有多少种连法? 第1页

  

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Cayley公式, 个顶点的不同树总数为 。个顶点,条边的连通图必然为树。因此本题答案即 。

Cayley传统上以Kirchoff定理通过线代证明,下面列出Pitman的一种比较有趣的算两次证明:

假设n个顶点可以组成的不同树总数为 。

现在从一个有个顶点,没有边的图出发,逐渐加入边,直到形成一棵有根树(有固定的根,两棵一样的树如果上面代表根的顶点不同视为不同的有根树),求这些边加入顺序的总数。

算一次:从 棵树之一开始,任选一点为根,有种选法,接下来条边有 种排法,总顺序数为

算两次:从空图开始一条条边加,假设加入 条边,则图中会有 棵互不连通的有根树,现在再增加一条边,这条边的起点可以是 顶点中的任一,终点只能是和起点不同的有根树的根,共 种选择,所以有 种选法。这里两棵树结合后形成的新树的根为起点原来所在的树的根。

所以总共的可能性有

因此 ,即




  

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