本文的完成经过了 @柴斯基 的帮助。
在实际问题中,被讨论的优化问题即最值问题常常针对凸集上的凸函数,并且是二阶连续可微的。
以下假定 是开集,即不存在边界,并且所谓的凸函数其实是严格凸函数。
在 维欧氏空间上,称一个点集 是凸集,是指对于任意 和 成立
特别地,在实数集上,所有的开区间都是凸集;在平面上,椭圆盘、抛物线的内侧等等都是凸集。
称凸集 上的 元函数 是凸函数,是指对于任意 和 成立
例如二次函数 是实数集上的凸函数。进一步地,所有的正定二次型
都是凸函数,证明留做习题。
我们有类似一元微积分中的结论。设 是凸集 上的二阶连续可微的 元函数,则 是凸函数的充分条件是 对于任意 是正定矩阵,其中 定义为
根据多元微积分理论,设 是区域 上的二阶连续可微的 元函数, 满足
且 正定,则 是 的极小值点。所以凸函数的所有稳定点都是极小值点。
进一步地,凸函数的稳定点如果存在,那么是唯一的。这是因为稳定点处的所有方向导数都是零,在之前的假设下,任取单位向量 构造 上的函数
其中 是使得 总有意义的最大值,则 和 都单调递增,进而 在形如 的点处方向为 的方向导数大于零,说明此点不是稳定点。
再由凸集的定义,这些点与 完全囊括了凸集 并且 所以 也是 的最小值点。
综上所述,凸集上的凸函数至多有一个稳定点,当有稳定点时,它是极小值点,也是最小值点。