水柱发生断裂的现象由“毛细不稳定性”引起,是水柱受到扰动后,在表面张力作用下扰动不断增大的结果。只要不是考虑“绝对理想”的环境,水柱一定会受到扰动,而水柱到底能有多细,和初始扰动有关。
以下对“毛细不稳定性”的介绍搬运自朱克勤老师、彭杰老师的《高等流体力学》教科书。先放一张毛细不稳定性的实验图像。
首先忽略重力,考虑下图所示半径为 的液柱,某一时刻受到了幅值为 ,波数 的正弦型小扰动,则液柱的最小半径变成 。在最小半径处的表面(A点),根据表面张力的杨-拉普拉斯公式得到,沿周向表面张力分量( )引起的附加压强为 ,而沿轴向的表面张力分量()引起的附加压强为 ,其中 是表面张力系数。初始无扰动时,由表面张力引起液柱内外存在初始压强差为 。综上所述,扰动后A点处的受力为:
这里用小扰动条件 做了简化,注意 的正方向是指向液柱外。
如果 ,则为正,指向液柱外,那么界面会趋于恢复到平衡位置;如果,则为负,则界面会进一步向轴心运动,液柱受扰动位置变得越来越细,最后断裂。这种由表面张力引起的流体界面失稳称为毛细(capillary)不稳定性。
所以,如果考虑固定的初始扰动,那么水柱的最小半径为 ,这里 是初始扰动的波数。
流体界面毛细不稳定性,在石油管道输运、光纤制造等工业生产领域中广泛存在,如何抑制毛细不稳定性的产生,是提高输运效率和产品质量的关键。
最后补充一下,以上分析都没有考虑重力。因为这里分析的是界面不稳定性,界面的体积是无穷小,任何有限的体积力都不起作用,我认为忽略重力是没有太大影响的。