这个荔枝弯曲的形状是否有曲线方程？第1页

jiang-xiao-bai-96-15 网友的相关建议:

我来作个总结吧，毕竟这样一个好问题不能像个烂摊子一样摆在这里。

要分析这个问题，首先得抓住主要矛盾，几何非线性，大变形。

这个问题的关键词是“大变形悬臂梁”，也就是说材料力学中的小变形假设不再成立，

如上图所示，根据推导结果(推导过程见附录)，梁的挠曲线参数方程为

其中参数由下面方程确定，这代表的是梁长约束。

参照下面这组实验，我们对比一下实验结果与理论结果。

这里把实验参数都列上，有感兴趣的可以亲自算一算。梁长 ,宽 ,

高 ,弹性模量，作用力。

实验结果与理论结果对比如下，基本一致。主要误差来源于理论结果中未考虑梁的重力。

按理说这个问题到这里就结束了。但其实很多人都有疑问，这种分析方法不具有普遍性，

能不能利用数值方法来求解这个问题。答案是可以的，只不过需要点小技巧。

先把这个控制方程列出来

解这个方程需要利用打靶法，这是一种对付非线性微分方程的万能利器。

固定一个 ,就会求得一条挠曲线，也即获得一个梁长度。

不断变更，使得 ,此时的即为我们需要求解的梁的横向位移。

高票答案就是忽略了这个横向位移且未考虑梁长约束，导致结果发散。

下图为Mathematica计算结果，与参数方法所获结果完全一致。代码略去了打靶过程。

                Clear         [         "Global`*"         ];                            b                   =                   3.04         *         10         ^         (         -2         );                   h                   =                   0.078         *         10         ^         (         -2         );                            E0                   =                   200         *         10         ^         9         ;                   I0                   =                   b                   h         ^         3         /         12         ;                            F                   =                   3.92         ;                   L                   =                   0.3         ;                                     [         Delta         ]         x                   =                   3.14         *         10         ^         (         -2         );                            sol                   =                   NDSolve         [{         w         ''         [         x         ]         /         (         1                   +                   w         '         [         x         ]         ^         2         )         ^         (         3         /         2         )                   ==                                  F                   (         L                   -                            [         Delta         ]         x                   -                   x         )         /         (         E0                   I0         ),                   w         [         0         ]                   ==                   0         ,                   w         '         [         0         ]                   ==                   0         },                                w         ,                   {         x         ,                   0         ,                   L                   -                            [         Delta         ]         x         }]                   //                   First                            Plot         [         -         w         [         x         ]                   /.                   sol         ,                   {         x         ,                   0         ,                   L                   -                            [         Delta         ]         x         }]

我们总结一下，此类问题的最好解决办法是利用打靶法数值求解非线性微分方程。

例如上述问题中考虑梁重力影响的话，只需修正一下弯矩表达式即可。当然，实际中更

复杂的问题则需要借助商业软件来求解，而这个问题则可以作为一个良好的模型问题

供以检验。

【公式推导部分】

梁的挠曲线控制方程为

弯矩表达式为，

为了使横向位移不在方程中出现，将方程对求一次导数,方程变为

带入弯矩，得到

两边同乘 ,上式可化为，

根据边界条件以及 ,可知

将弧长表示为的函数，

这其实可以写成椭圆积分，但没啥必要。

有一个约束条件需要注意，即梁的长度没有改变，

据此求出，梁的参数方程可表示为，

其余参数可顺势获得，。

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