四面体内切球与外接球半径怎样推导？ 第1页

高中数学求这些的方法多了去了，但是都是要做辅助线、补形这些，思考难度较大。正所谓思维深度决定计算量，不想算就多想，不想想就多算。

这里给你们一些无脑暴算的方法：

首先是内切球半径满足的条件，这个很简单，把四面体分成四个小三棱锥，公共顶点是球心，等体积法一下子就有：

是四面体表面积， 是体积，这两个都可以一点点算出来。四个面的面积是最好算的，直接解三角形，然后 就行，体积的话再给个公式：

设两个任意相邻面（有一条公共棱）的三角形面积分别是 ，两个面二面角是 ，则有四面体体积为：

好了，下面是外接球，这个难一点，但是半径也有一个暴力求法：

如果所有棱长都知道（直接解三角形肯定能都算出来），分成三组对棱，长度分别是以下这样子 ： 我们令 ，则有外接球半径满足：

我知道这种情况实际算起来太麻烦，那再给个简单的：

高考题里面一般都是两个三角形有一条公共棱，然后翻折起来，求形成的四面体外接球半径。这里为了方便我们设公共棱长度是 （注意上面有一个棱长设为 了，不一样别搞混），然后翻折二面角是 ，这两个有公共棱的三角形公共棱所对的顶角分别为 ，那么有：

高考时候 是翻折已知的，棱长、通过正弦定理余弦定理很好得到，然后直接暴算就完了。

当然如果二面角是90°，用含公共棱的两个三角形外接圆半径表示可能更简单：

再次提醒这里公共棱长度设为 了。

这里注意一下，很多老师喜欢教给你们另外一个通式，就是用这两个三角形外接圆半径表达的，但是个人认为不好用，因为通式中间有一个符号可以取正负，要具体分析，容易错，而这个公式无论是锐角钝角还是怎么样就这一种，不用分类判断。当然这个公式是用两个外接圆半径那个公式分四种情况讨论（就是为了符号问题）得出来的，根据那个公式再代入两个正弦定理就行。那个带外接圆半径的公式有取正负号的问题，不完全，这个在那个基础上消除了符号困扰，更方便无脑暴算。