为什么矩阵行秩等于列秩？ 第1页
1
guokou-wang-75-52 网友的相关建议:
不知道有没有人从线性空间及其对偶空间的角度来回答。
设 为基域， 为有限维线性空间之间的线性同态。取定 各自的一组基 ,并设 对应于这两组基的矩阵为 .
现在考虑对偶空间 取 的对偶基，则 对应于这两组基的矩阵为 的转置 .
注意到 的列秩等于 的行秩。所以“ 的行秩等于列秩”说的是 的像具有相同的维数。
看来我只是重复了 @王筝 的回答。
还有一个证明，虽然用到了行秩大于 列秩和列秩 行秩，但不失巧妙与简洁。此证明见于Gilber Strang 的 MIT 公开课 Matrix methods in data analysis, signal processing, and machine learning.
设 为 矩阵， 的列秩和行秩分别为 . 取 的列空间的一组基 , 令
, 则 为 矩阵，并且有 矩阵 满足 .
这样，我们证明了 的行空间是由 的各行线性生成的，于是有 . 取 的转置，则以上方法证明了 , 于是有 .
1
相关话题
下一次数学突破会在哪里？勾股数有有限多组还是无限多组？
专业的数学家只擅长证明不擅长使用数学吗？
学数学的人性格的共性特点有哪些？
全序关系和偏序关系的区别是什么？
学完泛函分析可以做哪些事情？
生育多少个子女才能保证自己的所有染色体“几乎”都传递给下一代？
学数学的最后都从事了什么样的工作？是否如传言中的不赚钱。？
国外的人数学真的那么差么？
请问这道题能不能带值计算？
前一个讨论
过氧化钠有漂白性吗？
下一个讨论
不用反证法，不用三角函数，如何证明这道几何题？
相关的话题
如何证明这个关于ζ(5)的等式？(1+e^((-2k-1)pi)) k 从0到无穷的连乘怎么算？
如何证明 e^π＞23？
数学不好能读理科吗?
在 UCLA 陶哲轩手下读博是什么感受？
如何证明这个整系数线性方程组解的估计？
如何证明 a_n＝(1＋1/2²)(1＋1/3²)…(1＋1/n²) 收敛？
求方阵的特征值大家有没有方法？
怎么证明算术平均数大于等于几何平均数？
高斯-博内定理和幅角原理的关系是什么？
如何解决这个函数极限的证明问题？
喜欢数学但没有天赋能不能做研究？
数学史上有哪些问题是通过构造出一套新的理论才得以解决的？必须要构造新的理论才能解决这些问题吗？
n - r = 基础解系的个数，这是为什么？
怎样徒手开三次根号、四次根号？
级数加括号后发散，是否之前一定发散？
数学史上你认为最美的公式是什么？
急/高中数学怎么学？有什么学习数学的方法吗？本人复读生？
若零向量没有方向，那它还是向量吗？
数学能力是不是会退化？
20.22.25.30.37.（）后边的这个数到底是多少？
数学专业出身的口算能力会比其他人强很多吗？
你知道哪些与数学有关的小故事？
怎样徒手开三次根号、四次根号？
S²×S¹是否可以嵌入到R⁴中？
怎样证明这样一个行列式不等式？
有哪些有趣的概率问题？
无穷和等于三个数怎么解释？
复决定系数和复相关系数是一个说法吗？
为什么会有 i 这一虚数？可以求出 i 的值吗？