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拓扑学上的紧致性怎样理解?有何运用? 第1页

  

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谢邀:紧性是空间最重要的性质之一,所谓的理解是建立在应用基础上的,离开这些例子,光靠解释是没用的。反过来,如果你都知道一些例子,你自己大概也能归纳出来。本质上紧性是允许我们像处理有限维空间那样处理一些无限维空间。 特别的的,连续函数在一般的拓扑空间上的有界闭集上不一定有界,但是在紧集上确是可以达到最大最小值。我在下面的回答中列出了大量有限维和无限维上“函数”的区分:

能不能把泛函简单地理解为函数? - dhchen 的回答 - 知乎

就算是一个拓扑里面紧性也可以定义两种:紧和列紧为了讨论方便,我只谈列紧性。对于一个(列)紧集, 必然有子列 收敛到某个点 。紧性的用处很大,下面我举两个例子:

第一,利用紧性得到某个极小值,然后这个极小值可以推出所要的数学结果。比如,它可以证明代数基本定理:






第二,偏微分方程上证明解存在性的一个思路是这样的:为了解 ,我们首先找出容易解的一列方程 使得 ,算出他们的解 ,然后证明它们在一个紧集合内,自然你可以找出一个极限 ,于是我们有 。下面我举一个例子。






第三,很多偏微分方程等价于某个拓扑空间上泛函的极小值问题:

研究增这类泛函极小值的方法:变分法的direct method里面第一条就是利用紧性来证明极小值的存在性。举个例子:带有第一类边界条件的

弱解的存在性等价于

在希尔伯特空间 上泛函极小值。level set

在某个弱拓扑下是列紧的,从而基于这个泛函的弱列下半连续性可以推导出极小值是存在的。





  

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