百科问答小站 logo
百科问答小站 font logo



过反比例函数上任意三点连成的三条线段的中点的圆过定点吗?为什么? 第1页

  

user avatar   yu-yiren-62 网友的相关建议: 
      

这个结果事实上是圆锥曲线的一条几何性质

等轴双曲线所接三角形的九点圆通过该双曲线中心。

与之有关的另一条性质是

等轴双曲线所接三角形的垂心位于该双曲线上。

由于前一个可以由后一个推出,这里只证明第二个。如图所示, 接于等轴双曲线, 是其垂心, 交 于 交 于 同时,记双曲线的两个无穷远点[1]分别为

作 交于 交于 [2]由于 平行于同一条渐近线, 平行于另一条渐近线,而等轴双曲线的渐近线是互相垂直的,因此, 这表明 与 共圆,而 与 共圆。同时,不难看出 [3]于是就有 所以 共线。但这不是别的,它们正是六点形 三组对边的交点,于是依 定理之逆,这六点形的顶点共于同一条圆锥曲线,质言之, 位于这双曲线上,定理因而得证。

参考

  1. ^ 很清楚,这双曲线的无穷远点也就是它渐近线的无穷远点,有且仅有两个。
  2. ^ 作某点与无穷远点的连线,就相当于过这点作相应渐近线的平行线。
  3. ^ 容易看出这两三角形的边相互地垂直着。

user avatar   la-la-la-4-25-46 网友的相关建议: 
      

估算一个上界。思路是每一轮都寻求一条最短线段,将当前包含天使的多边形,按面积等分成两个新的子多边形。再假设天使的运气足够好,每次都瞬移到等分效率较低的子多边形。

直观看出,取平行于正三角形一条边的线段来等分其面积,等分效率最高。令此线段长度 ,三角形边长 ,则:

这样,初始正三角形被分成一个新的小正三角形和一个等腰梯形,易见等腰梯形的等分效率远高于新的小正三角形,于是根据假设,天使将瞬移到新的小正三角形当中。如此循环,至于无穷,天使将被锁定在初始正三角形的一个顶点。计算魔鬼走过的耗时路程:

记魔鬼速度 ,则捉住天使的时间:

这个题目如此离散,不借助于数值离散优化不易得到全局最优解,建议大家来改进这个上界吧。


按照 @yyx 说的圆弧线等分正三角形以及后续的扇形,上界可以改进为:




  

相关话题

  数学在高考中占150分你怎么看? 
  「奇变偶不变,符号看象限」这句话最早是谁提出来的? 
  素数的 Willans 公式是否正确? 
  该n元不等式如何解?(张端阳的题)? 
  金融数学偏金融还是偏数学? 
  流汗黄豆有什么数学表达? 
  如何证明 1+1/4+1/9+1/16+1/25+…=π²/6? 
  有关银河系搭车客指南的理解上的问题? 
  怎么理解 Yang-Baxter 方程? 
  不用计算机程序,如何求1,2,…,n中所有与n互素的数的平方和? 

前一个讨论
如何评价 2020 年高考数学?
下一个讨论
请问这个极限加上变限积分这种怎么计算?





© 2025-04-26 - tinynew.org. All Rights Reserved.
© 2025-04-26 - tinynew.org. 保留所有权利