考完了第十二届大学生数学竞赛，你有什么感受？ 第1页

瞄了一眼数学类，总体来说似乎不特别难。感觉难点应该是3,4,6题。早知道我也去考一下混个奖了。

第一题解析几何大家都会。

第二题经典积分估计也没啥好说的，，，

第三题这个其实比较卡人。思路是，把方程组改写为

，

条件等价于 。设 ，则

。

从而 为正交矩阵。假设两个矩阵相似，那么 ，我们得到

，

故 。正交矩阵的实特征值都是 ，虚特征值的模长为 。由虚根成对原理，虚特征值为偶数个。设

，

其中 是上三角形矩阵，实数的对角元为 。由 知 为偶数个[1]，故

为偶数（非零对角元，包含 与虚数，为偶数个），矛盾。

[1]设 的特征值为 。由条件

。

注意到 ，故 。这就得到 的个数为偶数。

第四题是个穿着多项式外衣的组合题，，设根为 ，则题目条件等价于从这些根里面任意拿走一个，剩下的都可以分成两组使得两组数的和相等。

现在把它变成线性代数，设 ，则

，

其中矩阵 对角元都是零，其他元为 。你计算一下 的结果就会发现它是奇数，所以矩阵可逆，直接得到 完事。(计算方法：写出完全展开式，康康不是零的项有多少，每一项都是 ，个数代表奇偶性。这就是个组合计数的事情)

不知道有没有古典组合方法，，，

第五题迫真高中题，，，

第六题学过Riemann积分的加细那一套应该可以整出来。第一问不多说，设极限为 。第二问办法大概是，假设 是 加一个点的分割，可以证明

。

具体证明我是这样想的：设分割 的某个区间为 ，加入一个点 。设

，

设由 作出的铅垂线与 交于 。则

注意到 的纵坐标为

，

故

得到结果。

这个结果当然还可以推广到加多个点。所以对任何分割 ，令 表示两个分割叠起来，则

。

也就是 。令 得 。

把 的位置调换可以得到 ，就得到结果。

细节一定要想清楚，否则会巨大拖时间，，，