为什么辛普森法函数值的系数是这样？ 第1页

第一，实际上的真正系数只有 。之所以看起来是 ，是因为把它分成了很多个小区间，每个小区间都用 ，你求一下和就会发现是那一长串。

第二，那你还会问，为什么Simpson公式的系数是 ？这是因为，Simpson公式是Newton-Cotes公式在 的特例。Simpson的系数，其实是从计算Newton-Cotes系数中得到的。

（你可以看到第2行都除以了6，这是为了保证求和为1）

而上面表中这些Cotes系数是怎么算出来的？公式如下：

令 就能推出Simpson公式的系数 ， ，

那你又会问这个公式是怎么推出来的？这是因为Newton-Cotes公式是插值型公式， 的意思就是用二次多项式取插值（所以Simpson法的本质就是二次多项式代替原来的函数）。代入Lagrange插值公式，然后疯狂计算，就可以得到这个公式了。

多写几个特例：

1. 梯形公式 —— 一次多项式插值
2. Simpson公式 —— 二次多项式插值
3. Simpson3/8公式 —— 三次多项式插值
4. Milne公式（或Cotes公式） —— 四次多项式插值

这些公式的系数自行查前面那张表。