平面上两条 n 次曲线相交，交点的最大个数是否为 n²？ 第1页
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zhai-sen-8 网友的相关建议:
直觉上认识，n条互相平行的直线是n次曲线的一种（尽管看起来是退化的情形）。两个(n条互相平行的直线)相互交叉就是n^2个交点。然后让n次曲线连续地变动，交点的个数也应该是连续变动的，但交点个数是整数，所以就总是n^2. （这里要恰当地定义好交点的重数）。这是证明Bezout定理的其中一个粗糙的思路。
fattyymusic 网友的相关建议:
是。代数几何（Algebraic geometry，数学的一个分支，不是“代数+几何”的合称）里有一个贝祖定理（Bézout's theorem）说的就是这个问题（不是数论里同名的那个定理）。
通俗点说可以这么理解（非完整证明，严格的表述及推导请看代数几何教材）： 次平面曲线的方程就是一个二元 次多项式 ，同理，另一个 次曲线的方程是一个二元 次多项式 。它们联立求交点坐标，可以转化为求结式 （Resultant，不是留数，记号类似而已） 的解。根据代数基本定理，最高次为 的多项式方程最多有 个实根（若算上复数与重根，则一定有这么多），这意味着两条曲线最多可有 个实交点（只保证存在，不保证可解）， 时即为 。
例子如下图，两条三次曲线最多有九个交点，二次和四次曲线最多有八个交点。
一个较硬核的数学描述参见：
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