如何证明悬链线图像是双曲余弦？ 第1页
1
travorlzh 网友的相关建议:
现在我们假设a≤x≤b间长度为L的曲线表达式为y(x)，则有：
其中我们设
而y为悬链线当且仅当其势能达到极值（假设曲线的线密度为 ）：
很明显这是一个带约束条件的优化问题，所以我们可以用拉格朗日乘子法把条件与目标函数结合，得：
由于泛函核F满足 ，所以我们可以使用Beltrami公式[1]来构造悬链线的微分方程：
现在代入并整理，我们就能发现存在固定常数使得：
于是乎：
现在对两侧积分，便有：
接下来利用cosh是偶函数这一性质，便有：
再做整理，我们就得到了悬链线最终的表达式：
其中出现的常数可以通过代入边界条件和优化问题的约束条件来确定。
参考
- ^摆线的那些事儿——数学界的大型装逼事件 - 知乎 https://zhuanlan.zhihu.com/p/126421949
1
相关话题
有理数a/b的乘法为什么能先定义下来，为什么不怕会有问题?如何计算 sqrt(tan x) 在 0 到 π/2 的定积分？
想问下大神连续函数不一定有界的证明?
Fabrice Bellard 是个什么水平的程序员？
如何通过卫星图判断这架飞机距离地面的高度？
想问问各位大手子这个定理怎么证明，题目在补充里?
对于给定的椭圆，如何求椭圆上各点到中心的平均距离？
周围人太差，太容易自满怎么办（我指的是数学）？
如何用数学语言描述数列Xn不是单调数列?
怎么用泰勒公式估计通项趋于零的阶以判断级数的敛散性?
前一个讨论
裴擒虎有历史出处吗?
下一个讨论
作为女生，相同价格的黄金和钻石你选哪个？
相关的话题
与1相邻的实数存在吗？如果高考去掉一科，你会选数学吗？
一些人为什么会去选数学专业？
数学上有「从理论上根本无法证明」的东西么？
数学只有初二水平的大学生如何回头补基础？
一个什么学历的人在知乎上自称证明了哥德巴赫猜想会有人相信？
随手画线段，其长度最有可能是有理数还是无理数？
怎么说明Q(√2，√3)＝{a√2+b√3+c√6+d}是含有√2和√3的最小数域？
如何评价陈天权《数学分析讲义》？
n阶实方阵矩阵的换位子问题？
为什么这个级数会如此接近整数?
你们学习的时候是怎样理解数学推导过程的？
皮克定理有哪些证明？
问一下这个反常积分的敛散性？
Fick第二定律这个怎么解?
第五题如何证明呢？
如何求解此题？
下面这个关于质数的不等式如何证明？
如何看待希望杯数学竞赛被取消？
一个半径为10的大圆能剪出几个半径为1的小圆？
莱布尼茨的普遍语言是否可以实现？
所有集合的势都可比较大小吗？为什么？
为什么2016年的高考全国数学卷这么难？
请问这个人的数学水平如何？
如何证明实数域是最大的有序阿基米德域？（这是“完备性”的本质吗）？
路径积分、重整化在数学上目前并没有严格的定义，为什么在物理学中却相当有效？
大数定律具体是个什么概念？
二十世纪以来最牛的数学家（Grothendieck这种级别的）都有谁，你最崇拜谁，为什么？
祖冲之的圆周率的出处在哪里？
有哪些经典的反直觉数学结论？