下列积分级数如何计算？ 第1页

鉴于和式过多，就先分成三组吧。

第一组：

第二组：

第三组：

下面先尝试计算几个积分。

对于 的计算，提供两种方法。

法一：

首先有

考虑 级数

其中

则由 恒等式，有

法二：

考虑三角形式的 函数，即

则有

再利用 函数和 函数 与 函数 及其导数的关系求解积分值，在此不再赘述。

下面计算

再利用二重对数函数的性质

有

代入 ，立即得到

因此

下面计算

此积分也可见下文中的

下面计算

关于 的计算，还是给出两种方法。

法一：

首先有

法二：

取方形围道，利用留数计算积分，参考 @Aries 小天才的文章即可。（画图比较麻烦，加上菜鸡对留数不够熟悉，暂空。）

最后一个积分 与 类似，不再赘述。

下面尝试计算第二组和式。

首先由 的展开式

有

上式两边同时除以 ，并在 上积分，则

于是有

考虑 级数

其中

则

下面计算

利用下述级数展开

上式两边同时除以 ，并在 上积分呢，得到

同理，再上式两边同时除以 并在 上积分，得到

于是

最后的积分也可以先分部多次，再计算。

与 类似的问题：

显然，利用完全类似的方法， 也可以化为积分，在此不再深究。

最后看一下第三组和式的计算。

首先，有

利用 恒等式^[1]

其中

得到

同 ，得到

对于 ，有两种方法。

法一：

继续利用上面的 恒等式，或利用 恒等式^[2]

得到

法二：

利用 三重积^[3]。见

问题完结。

参考

1. ^ https://mathworld.wolfram.com/Dougall-RamanujanIdentity.html
2. ^ https://mathworld.wolfram.com/DixonsTheorem.html
3. ^ https://mathworld.wolfram.com/WatsonsTripleIntegrals.html